通俗易懂地解释卷积

作者：张俊博

链接：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457

来源：知乎

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不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。

这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。

直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。

已知

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202004/23/21a422e02981756c728a97ada0aae01e.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic4.zhimg.com/153fd3e7911d486edaf0475afb1e54b3_r.png">


已知

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202004/23/d0289414823a556badd1bfb4d4a61604.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic3.zhimg.com/c47d9d7f7a29c491782bf7b1baea3f8e_r.png">


下面通过演示求的过程，揭示卷积的物理意义。

第一步，乘以并平移到位置0：

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202004/23/4560a4341c9bb1b7e3134631be0dd5a9.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic1.zhimg.com/91f5eff235013ac729c44e98b3a537d0_r.png">


第二步，乘以并平移到位置1：

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第三步，乘以并平移到位置2：

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最后，把上面三个图叠加，就得到了：

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202004/23/950aa89a3e75af7fb71eaf6d7cc6187e.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="313" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic3.zhimg.com/4ce6cdcc28b10aca73db3f877d86ca02_r.png">


简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。

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从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。

对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应 加权叠加，就直接得到了输出信号。

通俗的说：
在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。

这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。

这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

也谈卷积，假如你被别人打了一拳，这一拳会在1小时疼痛消失[这一拳轻重不同，所以虽说都在一个小时消失，但是在1个小时内感觉的疼痛也不一样。设最轻(注意)的一拳在一小时内的疼痛感觉函数为h(t），二倍的最轻力度打你，疼痛感就是2h(t)对吧，f(n)倍最轻力度，就是f(n)h(t)了吧]，当别人在一小时内在第一秒，第二秒，第三秒.....第六十秒……动武时，可设f(n)为每次的轻重函数，这就是说在0到2小时内你会感觉疼，那么在这0到2小时的任意一个时刻的疼痛程度Y(t)怎么表示呢？（自己先可以算一下，算出来的话下面的就不用看啦）——肯定是每拳的疼痛效果叠加啦既0到n的f(n)h(t-n)相加，如f(1)h（t－1）＋f(2)h(t-2)……，当n很小时，为0.00000001时，就用积分符号啦。n次抽象为τ就是我们平时的f(t)与h(t)的卷积啦！

作者：落叶随风

链接：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/35652690

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