如何通俗易懂地解释卷积？

这里感谢知乎的马同学 、张俊博等各位解释，获益很多，详细大家可以搜索知乎，这里只截取三种解释，并对三种解释的共同处做了一下自己的标注，





马同学

看图学数学，公众号：matongxue314

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从数学上讲，卷积就是一种运算。
某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：
首先是抽象的、符号化的
其次，在生活、科研中，有着广泛的作用
比如加法：


，是抽象的，本身只是一个数学符号
在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等
卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。
1 卷积的定义
我们称

为


的卷积
其连续的定义为：



其离散的定义为：



这两个式子有一个共同的特征：



这个特征有什么意义？
我们令

，那么


就是下面这些直线：



如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：



此处受到
荆哲：卷积为什么叫「卷」积？ 答案的启发。
只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。
2 离散卷积的例子：丢骰子
我有两枚骰子：



把这两枚骰子都抛出去：



求：



这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：



那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：







因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：



符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：



3 连续卷积的例子：做馒头
楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是

，那么一天后生产出来的馒头总量为：



馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为

，比如，10个馒头，24小时会腐败：



想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。
如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：



这就是连续的卷积。
4 图像处理
4.1 原理
有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：



高频信号，就好像平地耸立的山峰：


看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到：



4.2 计算
卷积可以帮助实现这个平滑算法。
有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：



然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：



记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。
比如我要平滑

点，就在矩阵中，取出


点附近的点组成矩阵

，和


进行卷积计算后，再填回去：



要注意一点，为了运用卷积，

虽然和


同维度，但下标有点不一样：


我用一个动图来说明下计算过程：



写成卷积公式就是：



要求

，一样可以套用上面的卷积公式。
这样相当于实现了

这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把


矩阵旋转了

）：



此图出处：Convolutional
Neural Networks - Basics

编辑于 2017-09-13

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张俊博

小米语音

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有那么麻烦吗？
不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。

这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。
直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。
已知

（注：这里把x
看做输入信号）



已知

 
（注：这里，把y
看做离散加权序列）



下面通过演示求

的过程，揭示卷积的物理意义。
第一步，

乘以

并平移到位置0：（注：输入x
离散点输入x
，使用y[0]进行加权，以下类似）



第二步，

乘以

并平移到位置1：



第三步，

乘以

并平移到位置2：



最后，把上面三个图叠加，就得到了

：



简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。

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从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。
对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应 加权叠加，就直接得到了输出信号。

通俗的说：
在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。（注：从马同学的图像卷积案例，可理解为对各个移动区域（看成一个离散输入）进行加权相加，卷积窗格每移动一格，对新“框定”的区域（又是一个离散输入）进行加权，由于移动过程中，有重叠区域，所以各个窗格（区域）对划过它的全部窗格都要响应，从而得到张俊博所说的加权（输出），只不过张提到的更像是信号处理领域的）这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。

这正是单位响应是如此重要的原因。
在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

编辑于 2016-08-25

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鱼腻

学生

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看了好多关于卷积的答案，看到这个例子才彻底地理解了这个过程～

关于卷积的一个血腥的讲解

比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号（注：张俊博中的x
），脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！
如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数（注：张俊博所说的加权,y
）之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积（注：加权之和），卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？我想这个例子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？

转自GSDzone论坛