快速枚举因子（约数）

求数n的最小的约数r，使r满足性质P，这些性质满足这样的一个条件：若有d|r满足性质P，则有r也满足P
。

首先O(n√)

直接暴力枚举因数显然可行，然而我们有更快的方法。

设n=pk11pk22…pkmm

我们先从大到小枚举数w1

，使其成为最小的w1使得t=pw11pk22…pkmm满足P
。

再枚举w2

，使其成为最小的w2使得t=pw11pw22…pkmm满足P
。

一直枚举，得到数t=pw11pw22…pwmm

，即为最终的答案。

正确性由性质的性质显然，不计因式分解，则总时间复杂度为O(lgn⋅P)

。

 

这个方法的应用暂且知道两个：

一是求原根，枚举约数时直接改为上面的方法，验证一个数的时间降为O(lg2n)

。

二是求字符串的最小循环节，将本来的枚举约数改为上述算法，那就只用枚举O(lgn)

种长度。