最高科技——快速枚举约数

求数\(n\)的最小的约数\(r\)，使\(r\)满足性质\(P\)，这些性质满足这样的一个条件：若有\(d|r\)满足性质\(P\)，则有\(r\)也满足\(P\)。

首先\(O(\sqrt{n})\)直接暴力枚举因数显然可行，然而我们有更快的方法。

设\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_m^{k_m}\)

我们先从大到小枚举数\(w_1\)，使其成为最小的\(w_1\)使得\(t=p_1^{w_1}p_2^{k_2}\ldots p_m^{k_m}\)满足\(P\)。

再枚举\(w_2\)，使其成为最小的\(w_2\)使得\(t=p_1^{w_1}p_2^{w_2}\ldots p_m^{k_m}\)满足\(P\)。

一直枚举，得到数\(t=p_1^{w_1}p_2^{w_2}\ldots p_m^{w_m}\)，即为最终的答案。

正确性由性质的性质显然，不计因式分解，则总时间复杂度为\(O(\lg n \cdot P)\)。

这个方法的应用暂且知道两个：

一是求原根，枚举约数时直接改为上面的方法，验证一个数的时间降为\(O(\lg^2 n)\)。

二是求字符串的最小循环节，将本来的枚举约数改为上述算法，那就只用枚举\(O(\lg n)\)种长度。