剑指Offer面试题45:圆圈中最后剩下的数字
2016-10-09 20:59
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题目:圆圈中最后剩下的数字
0,1,2,3,4……n这n个数字排列成一个圆圈,从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈最后剩下的一个数字。
算法分析:
本题是有名的约瑟夫(josephuse)环问题。 例如,0,1,2,3,4这5个数字组成一个圆圈,从数字0开始每次删除第3个数字,则删除的前4个数字依次是:2,0,4,1,因此最后剩下的元素是数字3.
算法1:
可以采用环的链表来模拟圆圈。我们可以创建一个总共有n个节点的环形链表,然后每次在这个链表中删除第m个节点。
while(list.size() > 1){ //循环直至只剩最后一个元素
for(int i = 1; i < m; i++){
index = (index + 1)%list.size();
}
list.remove(index);
return list.get(0);
算法2:查找数字规律,利用数学公式解决
首先我们定义一个关于n 和m 的方程町矶时,表示每次在n 个数字0,1, … , n-1中每次删除第m 个数字最后剩下的数字。
在这n个数字中, 第一个被删除的数字是(m-1)%n. 为了简单起见,我们把(m- 1)%n 记为k,那么删除k之后剩下的n-1个数字为0, 1, … , k-1,k+1, … , n-1,并且下一次删除从数字k+1开始计数。相当于在剩下的序列中, k+1排在最前面,从而形成k+1, .. . , n- 1, 0, I, … , k-1 。该序列最后剩下的数字也应该是关于n 和m 的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从0 开始的连续序列),因此该函数不同于前面的函数,记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,
m)一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字,即f(n, m)=f’(n-1, m)。
接下来我们把剩下的这n-1个数字的序列k-1, …, n-1, 0, 1, … , k-1做一个映射,映射的结果是形成一个从0 到n-2的序列:
k+1 ------> 0
k+2 ---------> 1
……
n-1 ----- > n-k-2
0 -------> n-k-1
1 ---------> n-k
.....
k-1 ---------> n-k
我们把映射定义为p,则p(x) = (x-k-1)%n。它表示如果映射前的数字是x,那么映射后的数字是(x-k-1)%n.该映射的逆映射是p-1(x)= (x+k+1)%n.
由于映射之后的序列和最初的序列具有同样的形式,即都是从0开始的连续序列,因此仍然可以用函数f来表示,记为f(n-1,m).根据我们的映射规则,映射之前的序列中最后剩下的数字f'(n-1,m) = p-1[(n-1,m)] = [f(n-1,m)+k+1]%n ,把k= (m-1)%n代入f(n,m) = f'(n-1,m) =[f(n-1,m)+m]%n.
经过上面的复杂的分析,我们终于找到一个递归的公示。要得到n个数字的序列中最后剩下的数字,只需要得到n-1个数字的序列和最后剩下的数字,并以此类推。当n-1时,也就是序列中开始只有一个数字0,那么很显然最后剩下的数字就是0.我们把这种关系表示为:
public int LastFunction2(int n, int m){
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
int last = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
last = (last + m)%i;
return last;
}
算法源程序:
程序运行结果:
0,1,2,3,4……n这n个数字排列成一个圆圈,从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈最后剩下的一个数字。
算法分析:
本题是有名的约瑟夫(josephuse)环问题。 例如,0,1,2,3,4这5个数字组成一个圆圈,从数字0开始每次删除第3个数字,则删除的前4个数字依次是:2,0,4,1,因此最后剩下的元素是数字3.
算法1:
可以采用环的链表来模拟圆圈。我们可以创建一个总共有n个节点的环形链表,然后每次在这个链表中删除第m个节点。
while(list.size() > 1){ //循环直至只剩最后一个元素
for(int i = 1; i < m; i++){
index = (index + 1)%list.size();
}
list.remove(index);
return list.get(0);
算法2:查找数字规律,利用数学公式解决
首先我们定义一个关于n 和m 的方程町矶时,表示每次在n 个数字0,1, … , n-1中每次删除第m 个数字最后剩下的数字。
在这n个数字中, 第一个被删除的数字是(m-1)%n. 为了简单起见,我们把(m- 1)%n 记为k,那么删除k之后剩下的n-1个数字为0, 1, … , k-1,k+1, … , n-1,并且下一次删除从数字k+1开始计数。相当于在剩下的序列中, k+1排在最前面,从而形成k+1, .. . , n- 1, 0, I, … , k-1 。该序列最后剩下的数字也应该是关于n 和m 的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从0 开始的连续序列),因此该函数不同于前面的函数,记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,
m)一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字,即f(n, m)=f’(n-1, m)。
接下来我们把剩下的这n-1个数字的序列k-1, …, n-1, 0, 1, … , k-1做一个映射,映射的结果是形成一个从0 到n-2的序列:
k+1 ------> 0
k+2 ---------> 1
……
n-1 ----- > n-k-2
0 -------> n-k-1
1 ---------> n-k
.....
k-1 ---------> n-k
我们把映射定义为p,则p(x) = (x-k-1)%n。它表示如果映射前的数字是x,那么映射后的数字是(x-k-1)%n.该映射的逆映射是p-1(x)= (x+k+1)%n.
由于映射之后的序列和最初的序列具有同样的形式,即都是从0开始的连续序列,因此仍然可以用函数f来表示,记为f(n-1,m).根据我们的映射规则,映射之前的序列中最后剩下的数字f'(n-1,m) = p-1[(n-1,m)] = [f(n-1,m)+k+1]%n ,把k= (m-1)%n代入f(n,m) = f'(n-1,m) =[f(n-1,m)+m]%n.
经过上面的复杂的分析,我们终于找到一个递归的公示。要得到n个数字的序列中最后剩下的数字,只需要得到n-1个数字的序列和最后剩下的数字,并以此类推。当n-1时,也就是序列中开始只有一个数字0,那么很显然最后剩下的数字就是0.我们把这种关系表示为:
public int LastFunction2(int n, int m){
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
int last = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
last = (last + m)%i;
return last;
}
算法源程序:
/************************************************************** * Copyright (c) 2016, * All rights reserved. * 版 本 号:v1.0 * 题目描述:圆圈中最后剩下的数字 * 0,1,2,3,4……n这n个数字排列成一个圆圈,从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈最后剩下的一个数字。 * 输入描述:算法1输入一个数字数组,算法2计算的是0-4的5个数字,不用输入 * 程序输出: 请任意输入一个数组(以空格隔开): * 0 1 2 3 4 * 请输入每次删除的位置m: 3 * 算法1:最后剩下的元素是:3 * 算法2:n个数字最后剩下的元素是:3 * 算法2递归方法实现:3 * 问题分析: 无 * 算法描述: 算法1:可以采用环的链表来模拟圆圈。我们可以创建一个总共有n个节点的环形链表,然后每次在这个链表中删除第m个节点 * 算法2:查找数字规律,利用数学公式解决 * f(n,m) = 0 n = 1; * [f(n-1,m)+m]%n n > 1; * 完成日期:2016-10-09 ***************************************************************/ package org.marsguo.offerproject45; import java.util.*; class SolutionMethod1{ public int LastRemainFunction(int[] number, int m){ if(number.length < 0 || m < 1) return -1; /*ArrayList 采用的是数组形式来保存对象的,这种方式将对象放在连续的位置中,所以最大的缺点就是插入删除时非常麻烦 LinkedList 采用的将对象存放在独立的空间中,而且在每个空间中还保存下一个链接的索引 但是缺点就是查找非常麻烦 要丛第一个索引开始*/ List<Integer> list = new LinkedList<Integer>(); for(int j = 0; j < number.length; j++){ list.add(number[j]); } int index = 0; //要删除元素的位置 //int start = 0; while(list.size() > 1){ //循环直至只剩最后一个元素 for(int i = 1; i < m; i++){ index = (index + 1)%list.size(); } list.remove(index); // if(index == list.size()){ // index = 0; // } } return list.get(0); } } class SolutionMethod2{ /* 用循环方法实现: */ public int LastFunction2(int n, int m){ if(n < 1 || m < 1) return -1; int last = 0; for(int i = 2; i <= n; i++) last = (last + m)%i; return last; } /* 用递归方法实现 */ public int LastFunction3(int n,int m){ if(n < 1 || m < 1) return -1; else return(LastFunction3(n-1,m)+m)%n; } } public class LastRemainingNumber { public static void main(String[] args){ Scanner scanner = new Scanner(System.in); System.out.println("请任意输入一个数组(以空格隔开):"); String str = scanner.nextLine(); System.out.println("请输入每次删除的位置m:"); int m = scanner.nextInt(); String[] temp = str.split(" "); scanner.close(); int[] array = new int[temp.length]; for(int i = 0;i < temp.length;i++) { array[i] = Integer.parseInt(temp[i]); } SolutionMethod1 solution1 = new SolutionMethod1(); int lastnumber1 = solution1.LastRemainFunction(array, m); System.out.println("算法1:最后剩下的元素是:" + lastnumber1); SolutionMethod2 solution2 = new SolutionMethod2(); int lastnumber2 = solution2.LastFunction2(5, m); System.out.println("算法2:n个数字最后剩下的元素是:" + lastnumber2); int lastnumber3 = solution2.LastFunction3(5, m); System.out.println("算法2递归方法实现:" + lastnumber3); } }
程序运行结果:
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