【剑指Offer】面试题45：圆圈中最后剩下的数字

一：题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)



二：解题思路

方法一：创建一个总共有n个结点的环形链表，然后每次在这个链表中删除第m个结点--利用数组实现



方法二：数学思想

令f(n,m)代表从n 个数中每次删除第m 个数最后剩下的数字

在n个数中，第一个被删除的数字（m-1）%n ,我们令 （m-1）%n=k

删除后的序列变为：

0，1，...，k-1，k+1，...，n-1  下次从删除后的下一个元素k+1开始 


k+1，...，n-1，0，1，...，k-1

该序列最后剩下的数字也应该关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从o开始），记做  f ' (n-1,m)

但是最后两者剩余的数字是相同的   即  f(n,m) = f ' (n-1,m)

(删除一个数后的序列)--》（0--n-2的序列）

k+1      0

k+2      1

.

.

.

n-1      n-k-2

0         n-k-1

1        n-k

....

k-1     n-2

我们把这种映射关系定义p,  p(x)=(x-k-1)%n   ，x代表映射前的数，p(x)代表映射后的数

该映射的逆映射  p ' (x)=(x+k+1)%n

由于映射后的序列和最初的序列具有相同的形式，即都从0开始的连续序列，因此仍然可以用f 表示，记做 f(n-1,m)

根据我们的映射关系，映射前的序列中最后剩余的数字  f ' (n-1,m)=p ' (f(n-1),m) =[f(n-1,m)+k+1]%n

 把[b]（m-1）%n=k 带入得到 f(n,m)  = f ' (n-1,m)=[f (n-1.m)+m]%n[/b]

[b]当n=1,  序列中只有一个数字0，那么最终剩下的数字就是0[/b]



[b]f(n,m) =0   ,n=1[/b]

[b]f(n,m)= [f(n-1,m)+m]%n   n>1[/b]



三：代码实现

利用数组实现，虽然超时，想法不错

class Solution {
public:
int LastRemaining_Solution(int n, int m)
{
if(n<=0 || m<=0)
return -1;
m=m%n;

//利用数组模拟环，如果删除，值变成-1
vector<int> num;
for(int i=0;i<n;i++)
num.push_back(i);

int i=-1;//指向删除后的下一个元素
int step=0; //本轮的第几个元素，当step==m，删除该元素
int count=n; //环中剩余的元素

while(count>0){
i++;
if(i>=n) i=0;//模拟环

if(num[i]==-1) continue; //跳过已经被删除的元素

step++;
//如果step==m,删除i元素
if(step==m){
num[i]=-1;
step=0;
count--;
}
}
//跳出循环时，i指向最后一个被删除的元素
return i;
}
};

不超时，但难理解

class Solution {
public:
int LastRemaining_Solution(int n, int m)
{

if(n<1  || m<1)
return -1;

int last=0;

for(int i=2;i<=n;i++)
last=(last+m)%i;

return last;
}
};

2017年7月30日，值得纪念的一天，终于将牛客网上剑指Offer刷完！哦耶