疯狂的火神【NOIP2016提高A组模拟8.14】

题目

火神为了检验zone的力量，他决定单挑n个人。

由于火神训练时间有限，最多只有t分钟，所以他可以选择一部分人来单挑，由于有丽子的帮助，他得到了每个人特定的价值，每个人的价值由一个三元组(a,b,c)组成，表示如果火神在第x分钟单挑这个人（x指单挑完这个人的时间），他就会得到a-b*x的经验值，并且他需要c分钟来打倒这个人。

现在火神想知道，他最多可以得到多少经验值，由于火神本来就很笨，进入zone的疯狂的火神就更笨了，所以他希望你来帮他计算出他最多可以得到多少经验值。

样例输入：

第一行一个正整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行为两个正整数n和t，表示跟火神单挑的人的个数和火神的训练时间。

下面n行，每行三个正整数Ai,Bi,Ci，表示每个人的价值，含义见题目。

1

4 10

110 5 9

30 2 1

80 4 8

50 3 2

样例输出：

对于每组数据输出一行一个整数表示火神最多能得到多少经验值

88

数据范围：

对于 20%的数据1≤n≤10

对于50%的数据1≤n≤18

对于100%的数据1≤n≤1000,1≤t≤3000,1≤Ci≤t,Ai≤10^6

保证n>200的数据组数不超过五组，其他的数据组数不超过10组

保证每个人贡献的经验值到训练结束都不会变成负数

剖解题目

有N个兵，你消耗一定代价选择一个兵后会得到一定的贡献，不同时间选择同一个兵得到的贡献也可能不同，问可得到最大的贡献。

思路：

很明显的DP，但因为考虑到有一定后效性，要想方法消除。

20%:这是友情送分吗？我毫不客气的用暴力拿下了。

50%：观察到N<=18，我们可以考虑状压DP，设fS表示在S状态下能获得的最大贡献，S是一个二进制数，表示每一个兵被选和不选的情况，同样的一个gS表示这种状态下已经耗费的代价是多少，然后转移即可。

100%：我们发现若不使用状压DP时，普通DP会有后效性，这个后效性要想办法消除。

仔细考虑，贡献会与选举的顺序有关，如果设选举的顺序是x1,x2.....xi,xj.....xn,当交换任意相邻的项时，得到的影响的贡献也是只会影响这两个，而不会对其他造成影响。

设i<j，那么ans1=a[i]-b[i]* c[i]+a[j]-b[j] (c[i]+c[j]),交换后，ans2=a[j]-b[j] *c[j]+a[i]-b[i] (c[i]+c[j]),令ans1>ans2，那么化简后就有b[i]c[i]>b[j]c[j]。

所以，我们只需要按b与c的比值按大到小排个序，然后选即可，这就成了一个简单的01背包，设fi表示当时间为i时，已经花掉代价选择了一个兵，得到的最大贡献，转移就不说了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)

using namespace std;

const int maxn=3005;
int n,t,f[maxn],ans;
struct cy{
int a,b,c;
double d;
}v[maxn];

bool cmp(cy a,cy b)
{
return a.d>b.d;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
fo(o,1,T) {
scanf("%d%d",&n,&t);
fo(i,1,n){
scanf("%d%d%d",&v[i].a,&v[i].b,&v[i].c);
v[i].d=(double)v[i].b/(double)v[i].c;
}
sort(v+1,v+n+1,cmp);
fo(j,1,n)
for(int i=t;i>=v[j].c;i--)
{
int x=f[i-v[j].c]+v[j].a-v[j].b*i;
f[i]=max(x,f[i]);
}
ans=0;
fo(i,1,t) {
ans=max(f[i],ans);
f[i]=0;
}
printf("%d\n",ans);
}
}