动态规划之线性动归

线性规划是一类问题。目标函数为特定变量的线性函数，约束是这些变量的线性不等式（standard form）或等式（slack form），目的是求目标函数的最大值或最小值。这类动态规划是平时比较常见的一类动态规划问题。

一、钢条切割问题：

假设公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为Pi（i = 1, 2, …单位：美元），下面给出了价格表样例：

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格Pi	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

切割钢条的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表Pi，求切割方案，使得销售收益Rn最大。
当然，如果长度为n英寸的钢条价格Pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

对于上述价格表样例，我们可以观察所有最优收益值Ri及对应的最优解方案：（钢条长度依次从1到10对应的切割方案）
钢条长度1，R1 = 1，  切割方案1 = 1（无切割）
钢条长度2，R2 = 5，  切割方案2 = 2（无切割）
钢条长度3，R3 = 8，  切割方案3 = 3（无切割）
钢条长度4，R4 = 10， 切割方案4 = 2 + 2
钢条长度5，R5 = 13， 切割方案5 = 2 + 3
钢条长度6，R6 = 17， 切割方案6 = 6（无切割）
钢条长度7，R7 = 18， 切割方案7 = 1 + 6或7 = 2 + 2 + 3
钢条长度8，R8 = 22， 切割方案8 = 2 + 6
钢条长度9，R9 = 25， 切割方案9 = 3 + 6
钢条长度10，R10 = 30，切割方案10 = 10（无切割）
更一般地，对于Rn（n >= 1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：Rn = max(Pn, R1 + Rn-1, R2 + Rn-2,…,Rn-1 + R1)
首先将钢条切割为长度为i和n – i两段，接着求解这两段的最优切割收益Ri和Rn – i（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和），由于无法预知哪种方案会获得最优收益，我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。如果直接出售原钢条会获得最大收益，我们当然可以选择不做任何切割。

对于上述方案我们可以进行简化，我们将钢条从左边切割下来长度为i的一段，只对右边剩下的长度为n-i的一段进行切割（递归求解），对左边的一段则不用进行切割。即问题分解的方式为：将长度为n的钢条分解为左边开始的一段，以及剩余部分继续分解的结果。这样，不做任何切割的方案就可以描述为：第一段长度为n，收益为Pn，剩余部分长度为0，对应的收益为R0=0。于是我们可以得到公式 的简化版本：Rn=max（Pi+Rn-i）[其中a<=i<=n]

我们可以不用动态规划，直接用自顶向下递归实现：

CUT—ROD(p,n)
if n==01
return 0
q=-oo
for i= 1 to n
q=max(q,p[i]+CUT—ROD(p,n-i))
return q

上述程序的运行时间是指数级的。

我们发现，朴素递归算法之所以效率低下，是因为它反复求解相同的子问题，因此，动态规划的方法仔细安排求解顺序，对每个子问题只求解一次，并将结果保存下来。如果随后再次需要此问题的解，只需查找保存的结果，而不必重新计算。这是典型的空间换时间。动态规划有两种等价的实现方法：

1：带备忘的自顶向下法：
按照自然的递归形式编写过程，但是过程会保存每个子问题的解，当需要子问题的解时，就先检查是否已经保存过此解。保存过就查表返回，否
则计算子问题解。

MEMOIZED-CUT—ROD(p,n)  //长度为n的钢条
let r[0..n]be a new array   //辅助数组r

for i=0 to n
r[i]=-oo
return MEMOIZED-CUT—AUX(p,n,r)

MEMOIZED-CUT—AUX(p,n,r)
if r
>=0
return r

if n==0    //钢条长度为0，收益为0
q=0
else q=-oo
for i=1 to n
q=max(q,p[i]+MEMOIZED-CUT—AUX(p,n-i,r))   //第一段钢条长度为i，价格为p[i](p[i]是价格表),剩下的长度为n-i，最大收益为r[n-i]。长度为i的钢条的最大收益为r[i]
r
=q
return q

 
2：自底向上法：
这种方法一般需要恰当的定义子问题的“规模”的概念，使得任何子问题都只依赖于更小的子问题的求解。因此我们可以将子问题按规模进行排序，按由小到大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个子问题都只求解一次，当求解这个子问题时，它所依赖的所有前提子问题都已经求解完成。

BOTTOM-UP-CUT—ROD(p,n)
let r[0..n]be a new array
r[0]=0
for j=1 to n	//钢条总长度为j
q=-oo
for i=1 to j   //第一段长度为i
q=max(q,p[i]+r[j-i])
r[j]=q	//长度为j的钢条的最大收益为r[j]
return r

以上两种方法均只返回了最优解的收益值，但并没有返回解本身（一个长度列表，给出切割后每段钢条的长度）。

EXTENDED-BOTTOM-UP-CUT—ROD(p,n)
let r[0..n] and s[0..n] be new array //s保存第一段钢条的切割长度
r[0]=0
for j=1 to n  //钢条总长度
q=-oo
for i=1 to j //第一段钢条的切割长度
if q < p[i]+r[j-i]
q=p[i]+r[j-i]
s[j]=i //钢条长度为j时，第一段钢条的切割长度
r[j]=q
return r and s

PRINT-CUT—ROD-SOLUTION(p,n)
(r,s)=EXTENDED-BOTTOM-UP-CUT—ROD(p,n)
while n>0
print s

n=n-s

代码实现：请移步：GitHub

总结：

       由以上钢条切割问题我们发现，动态规划有时并不是必须的，但是使用常规方法效率极其低下。而动态规划之所以能提高程序的效率，是因为我们避免了重复子问题的求解（两种方法：一种使用备忘；一种合适的执行顺序）。我们使用动态规划总是在子子问题的基础上求解子问题，再由子问题出求解最终的答案，而这一切的一切关键在于动归表达式的建立。

二、最长上升子序列（最长上升子序列LIS，或者
最长不下降子序列）

1）问题描述：

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1,
3, 5, 8)。

我们的任务就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

2）解题思路：

设 A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, …, len(A))。

假设 i=1 ，此时F[1]=1;因为A[1]的前面没有元素。那么如果A[2]>A[1]，显然可以得到F[2]=F[1]+1;
因为A[1]，A[2]是一个上升子序列。如果A[3]<=A[2]且A[3]>=A[1]，那么F[3]为2；因为它可以和A[1]组成上升子序列。同理，若A[3]>A[3-1]，则F[3]=max{1,F[2]+1}=3。由此我们可以得到递推关系式. 

动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, …, t – 1, 且A[j] < A[t])。 【重要：主要就是这个方程】

3）代码实现：

//A[i]为输入序列
//B[i]为序列前i个数中的最长递增序列的长度
#include <iostream>
using namespace std;

//用于保存子问题最优解的备忘录
typedef struct
{
int maxlen; //当前子问题最优解
int prev;   //构造该子问题所用到的下一级子问题序号(用于跟踪输出最优队列)
}Memo;

//用于递归输出Memo B中的解
void Display(int* A, Memo* M, int i)
{
if (M[i].prev == -1)
{
cout<<A[i]<<" ";
return;
}
Display(A, M, M[i].prev);  //递归调用，按从低到高顺序输出
cout<<A[i]<<" ";
}

void GetBestQuence(int* A, int n)
{
//定义备忘录 并作必要的初始化
Memo *B = new Memo
;              //B[i]代表从A[0]到A[i]满足升序剔除部分元素后能得到的最多元素个数

B[0].maxlen = 1;        //由于B[i]由前向后构造 初始化最前面的子问题  (元素本身就是一个满足升序降序的序列)

for (int i=0; i<n; i++) //为前一个最优子问题序号给定一个特殊标识-1
//用于在跟踪路径时终止递归或迭代(因为我们并不知道最终队列从哪里开始)
{
B[i].prev = -1;

}
////////////////////////////////////////关键程序/////////////////////////////////////////////////////
for (int i=1; i<n; i++)      //构造B
i为1时就是求B[1]即从A[0]到A[1]满足升序排列的最多元素个数
{
B[i].maxlen = 1;
for (int j=i-1; j>=0; j--)               //查看前面的子问题 找出满足条件的最优解 并且记录
{
if (A[j]<=A[i] && B[j].maxlen+1>B[i].maxlen)  //A[j]<=A[i]这里符号小于等于表示求出的是最长不下降子序列，若是小于则求得的是最长递增子序列
{
B[i].maxlen = B[j].maxlen+1;            //跟踪当前最优解
B[i].prev = j;                  //跟踪构造路径
}
}
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

//遍历i 得到最大的B[i]+C[i]-1(-1是因为我们在B[i]和C[i]中 均加上了A[i]这个数 因此需要减去重复的)
int maxQuence = 0;  //记录当前最优解
int MostTall;       //记录i 用于跟踪构造路径
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (B[i].maxlen> maxQuence)
{
maxQuence = B[i].maxlen;
MostTall = i;
}
}

cout<<"最长不下降子序列: "<<maxQuence<<endl;

//B由前向后构造 因此prev指向前面的元素 需要递归输出
Display( A, B, MostTall);  //输出递增序列

cout<<endl;

delete []B;

}
int main()
{
//测试
int *A;
int n;
cout<<"请输入序列个数: "<<endl;
cin>>n;

A = new int
;
cout<<"依次输入每个序列值 :"<<endl;
for (int i=0; i<n; i++)
{
cin>>A[i];
}

GetBestQuence(A, n);
delete []A;
system("pause");
return 0;
}

三、合唱队形问题

1）问题描述

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别

为T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足T1<…<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。 
 
输入格式 Input Format      

输入的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。 

输出格式 Output Format     

输出包括得到的最优队列的同学个数以及最终同学的身高排列

2）解题思路
这个问题可以分解为对于0<=i<=n-1(n为同学数) 我们要求得满足子序列[0, i)的升序排列最优个数p加上子序列[i, n)满足降序最优个数q即p+q最大的i值。

对于升序和降序的最优解可以用动态规划来构造，由上面的最长递增子序列问题我们可以方便的构造出动归方程b[t] = max{1, b[j] + 1}
(j = 1, 2, …, t – 1, 且a[j] < a[t])。
数组a[i]是第i个人的身高，b[i]是从左边第一个到a[i]的最长上升子序列，c[i]是从右边第一个到a[i]的最长上升子序列。

最后，可以得到符合合唱队的队列是b[i]+c[i]-1(a[i]被重复计算了一次)，而题目要求的合唱队列是：max{b[i]+c[i]-1}
1<=i<=总人数，那么要挑出去多少人也就明白了，即总人数
–  max{b[i]+c[i]-1

3）代码实现(完整代码有些长就不在这里贴了)

void GetBestQuence(int* A, int n)
{
//定义备忘录 并作必要的初始化
Memo *B = new Memo
;              //B[i]代表从A[0]到A[i]满足升序剔除部分元素后能得到的最多元素个数
Memo *C = new Memo
;              //C[i]代表从A[i]到A[n-1]满足降序剔除部分元素后能得到的最多元素个数
B[0].maxlen = 1;        //由于B[i]由前向后构造 初始化最前面的子问题  (元素本身就是一个满足升序降序的序列)
C[n-1].maxlen = 1;      //同样C[i]由后向前构造
for (int i=0; i<n; i++) //为前一个最优子问题序号给定一个特殊标识-1
//用于在跟踪路径时终止递归或迭代(因为我们并不知道最终队列从哪里开始)
{
B[i].prev = -1;
C[i].prev = -1;
}
//这里以A[i]为队形的中心！！！
for (int i=1; i<n; i++)      //构造B
i为1时就是求B[1]即从A[0]到A[1]满足升序排列的最多元素个数
{
int max=1;
for (int j=i-1; j>=0; j--)               //查看前面的子问题 找出满足条件的最优解 并且记录
{
if (A[j]<A[i] && B[j].maxlen+1>max)  //B[j].maxlen+1>max这里一定是大于
{
max = B[j].maxlen+1;            //跟踪当前最优解
B[i].prev = j;                  //跟踪构造路径
}
}
B[i].maxlen = max;                      //构造最优解
}

for (int i=n-1; i>=0; i--)  //C[i]是从后往前算的
{
int max=1;
for (int j=i; j<n; j++)          //从后往前构造 这是为了后面在统筹最终解时可以直接用B[i]+C[i]-1
//否则我们得到的最优解始终为B[n-1]+C[n-1]
{
if (A[j]<A[i] && C[j].maxlen+1>max)   //比当前长度更长 记录并构造
{
max = C[j].maxlen+1;
C[i].prev = j;
}
}
C[i].maxlen = max;
}

//遍历i 得到最大的B[i]+C[i]-1(-1是因为我们在B[i]和C[i]中 均加上了A[i]这个数 因此需要减去重复的)
int maxQuence = 0;  //记录当前最优解
int MostTall;       //记录i 用于跟踪构造路径
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (B[i].maxlen+C[i].maxlen-1 > maxQuence)
{
maxQuence = B[i].maxlen+C[i].maxlen-1;
MostTall = i;
}
}

cout<<"最大合唱队形长度: "<<maxQuence<<endl;

//B由前向后构造 因此prev指向前面的元素 需要递归输出
Display( A, B, MostTall);  //输出递增序列
//C的prev指向后面元素 直接迭代输出
while (C[MostTall].prev != -1)   //输出递减序列
{
MostTall = C[MostTall].prev;
cout<<A[MostTall]<<" ";
}
cout<<endl;

delete []B;
delete []C;
}

完整代码请移步：GitHub

4）程序分析：

例子：8个人以及各自的身高

0	1	2	3	4	5	6	7
186	186	150	200	160	130	197	200

求B[i]当i等于3时，j=2,1,0.
j=2时更新 max = B[j].maxlen+1;           
则当j=1,0判断B[j].maxlen+1>max时不成立不用更新B[1].maxlen和B[0].maxlen

B[3]意思是从A[0]到A[3]最大的递增序列数
C[3]意思是从A[3]到A[7]最大是递减序列数

maxlen
B[0]=1, prev=-1;  186
B[1]=1, prev=-1;  186 
B[2]=1, prev=-1;  150 
B[3]=2, B[2]<B[3];  B[2].maxlen+1=2 > max=1;       prev=2;        150,200 
B[4]=2, B[2]<B[4];  B[2].maxlen+1=2 > max=1;       prev=2;        150,160
B[5]=1, prev=-1;  130
B[6]=3, B[5]<B[6];  B[5].maxlen+1=2 > max=1;     B[4]<B[6];  B[4].maxlen+1=3 > max=2;      prev=4;  150,160,197 
B[7]=4, B[6]<B[7];  B[6].maxlen+1=4 > max=1;     prev=6;    150,160,197,200

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