图论基本定义和术语

 1.图的定义

         图(Graph)是由两个集合构成，一个是非空但是有限的顶点集合V,另一个是描述结合间的关系边的集合E,因此图可以表示为G=(V,E).每条边是一对顶点(v,w)且 v,w∈V.通常|V|和|E|表示顶点个数和边的数量。值得注意的是图中顶点一定不能为空，而边可以为空。

 2.图的相关术语

       1)无向图：无向图是指图中的边没有方向性即边(v,w)与边(w,v)是同一条边。用圆括号"( )"来表示无向边。

       2)有向图：有向图是指图中的边具有方向性即边<v,w>不等同于<w,v>，一般应尖括号"< >"来表示无向图的边。其中<v,w>是指由顶点v到达顶点w的一条有向边。

       3)邻接点：如果<v.w>是无向图中的任意一条边。那么v和w互为邻接点，如果<v,w>是有向图的任意一条边，那么称v邻接到w

       4)路径，简单路，回路，无环路：

          图中一条路径Path是指一顶点序列：v1,v2....vn。序列中任何相邻的两顶点都可以在图中找到对应的边.一条路径长度是这条路径所包含的边数。

           一条简单路径是指除了路径的首位顶点之外，其他顶点都是不同的。有向图的一条回路也称一个环是指v1=vn的一条路径。如果一个有向图中不存在回路，那么这图称为无环图。对于无向图而言，构成回路最少顶点数为3.

       5）顶点的入度与出度：顶点v的度(degree)是指依附于该点的边数。在有向图中顶点分为入度和出度。顶点v的入度(In-degree)是指以顶点v为终点的边的数目。顶点v的出度(out-degree)是指以顶点v为起点的边的数目。

        6)权和网络：在边上附上一些数据信息。通常称这个信息为权(weight)或者代价(cost).边上带权的图称为网图或者网络。

        7）子图：对于图G=(V,E)和图G1=(V1,E1)。若V1是V的子集，E1是E的子集，则称G1是G的子图。

        8）连通图和连通分量：在无向图中，如果从一个顶点v到另一个顶点w之间有路径，则称v与w是连通的。如果图中的任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。无向图的极大连通子图称为连通分量，它满足以下4条要点：

            a.子图：连通分量应该是原图的子图。

            b.连通：连通分量本身应该是连通的。

            c.极大顶点数：连通子图含有极大顶点数，即再加入其它顶点将会导致子图不连通。

            d.极大边数：具有极大连通性的子图包含依附于这些顶点所有的边。

于是连通无向图只有一个连通分量就是它本身。而不连通的无向图有多个连通分量。

         9）强连通图与强连通分量：对于有向图来说，若图中任意一对顶点v,w都有v到w的路径，也有从w到v的路径。则称该有向图是强连通图。有向图的极大连通子图称为“强连通分量”。强连通分量概念与连通分量概念类似。

         10）生成树与生成森林：所谓连通图G的生成树是G的包含其中n个顶点的极小连通子图。它必定包含了n-1条边，生成树不是唯一的。当图G是一颗树当且仅当G满足下列4条件之一：

              a.G有n-1条边，且没有环。

              b.G有n-1条边，且G是连通的。

              c.G中的每一个顶点有且只有一条路径相连。

              d.G是连通的，但是删除任何一条边就会使得它不连通。

生成森林：非连通图中由于每一个连通分量都是一个极小的连通子图。即一颗生成树可以对应一个连通分量。所有的这些连通分量的生成树就构成了森林。