【burnside引理】

“定义

设G={a1,a2,…ag}(有限群)

是目标集[1,n]上的置换群。每个置换都写成不相交循环的乘积。是在置换ak的作用下不动点的个数，也就是长度为1的循环的个数。”

在置换群中应用

eg：

1.8珠项链，3色，共几种？

G=（3^1*4+3^8+3^2*2+3^4）/8

2.一正方形分成4格，2着色，有多少种方案？其中，经过转动相同的图象算同一方案。

解：每个格子一共有两种颜色可以选择，所以共有右图16中图像。

对图中图像的置换可以分为以下四种：

不动：a1=(1)(2)…(16)

逆时针转90度 ：a2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10) (11 12)(13 14 15 16)

顺时针转90度 ：a3=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)

转180度：a4=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12) (13 15)(14 16)

由Burnside引理，共有(16+2+2+4)/4=6(种方案)

由例子可见，Burnsid引理是针对图像集的转动群来求解，当多种颜色着色时，理论上可以用Burnside来求解，但是极其复杂，此时一般通过Pólya定理求解。

……To be continue