最短路算法（Floyd、Dijsktra、Bellman-Ford、SPFA）

最短路算法基本可以分为以下两个步骤：

①初始化（任意两边的距离）

②松弛操作

在图论中，最关键的是如何建图。

在最短路算法中，首先要处理数据，在这个时候，要考虑该用那种方式建图。

比较常见的建图方式：邻接链表、邻接矩阵、前向星、链式前向星、十字链表。

对于这五种建图方式，在这里不做详细讨论，只是大概介绍一下优点和缺点。

邻接链表：适合点多的图

邻接矩阵：适合边多的图

链式前向星：适合不带重边的图。除此之外，无论点多还是边多，链式前向星都能表现出很完美的效率。

前向星和十字链表个人用的很少，不做描述。

①Floyd最短路算法

Floyd最短路算法的代码很短，5行就能搞定，但是思想却非常值得学习。

采用动态规划思想：

dp[k][i][j]表示从i到j之间可以经过1~k节点的最短路径。

状态转移方程：dp[k][i][j]=min{dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]};

对于dp[k][i][j]，可以从dp[k-1][i][j]不经过k结点，或者从dp[k-1][i][j]经过k节点，即dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]；

因为dp[k]只和dp[k-1]有关，所以可以省略dp最外层的一维空间。

（在初始化操作中，需要将dp初始化为无穷大，但是在松弛操作中，又需要避免数据溢出，所以需要选择一个合理的“无穷大”，0x3f3f3f3f是1061109567）

int dp[maxn][maxn];

void Floyd(){
memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]);
}
}
}
}

下面介绍一下如何打印路径。

用path[i][j]表示j节点的前驱。在更新dp[i][j]最短路径的同时记录更新path[i][j];

（推荐题：hdu1385）

void print(int a,int b){
printf("Path: %d",a);
int next=path[a][b];
while(next!=b){
printf("-->%d",next);
next=path[next][b];
}
if(a!=b)
printf("-->%d",b);
putchar(10);
}

②Dijsltra最短路算法
Dijsktra算法是求单源路径最短路问题。

在n^2的效率下计算出源点src到任一点的最短路径，而Floyd算法是在n^3的效率下计算出任意两点的最短距离。

另外一点，在最短路中也需要注意考虑重边的情况，养成好习惯。

下面先给出Dijsktra算法的详细代码并标注解释：

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1010;
int map[maxn][maxn];//map[i][j]表示从i到j的距离
int dis[maxn];//表示从源点到i点的最短距离
bool vis[maxn];//记录该点是否已经访问过

int Dijsktra(int src,int des){
memset(dis,INF,sizeof(dis));//初始化dis数组
dis[src]=0;//源点到本身的距离为0
vis[src]=true;//标记源点
for(int i=1;i<=n-1;i++){//只需要更新n-1次
int pos,min=-INF;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!vis[j]&&dis[j]<min)
min=dis[pos=j];
}
if(min==INF) return -1;//如果不存在，返回-1
vis[pos]=1;
for(int j=1;j<=n;j++){//更新dis数组
if(!vis[j]&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])
dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];
}
}
return dis[des];//返回源点到目的点的最短距离
}

应该可以注意到，通俗一点来讲，Dijsktra就是彼此找出一个距离src最近的点pos，以这个点作为中介点更新src到其他所有点的最短距离。

在更新的过程中，已访问的节点做一个标记，这样可以提高效率，源点初始化后不需要再访问，所以更新n-1次即可。

但是在Dijsktra的优点在于，在查找中介点的过程中，需要遍历所有点，效率为o(n),但是如果用二叉堆来优化的话，效率只需要o(logn)。

这里，我们用priority_queue来实现。

如果不用优先队列的话，Dijsktra的效率为O（2|E|+|v|^2），用优先队列查找里源点最近的点时效率为O（log|V|），整体效率为O（2|E|+|v|log|V|）

具体代码如下（Dijsktra+优先队列这种方式也是有必要掌握的。）：

struct edge{
int to,cost;
edge(){}
edge(int to,int cost):to(to),cost(cost){}
};

typedef pair<int,int> P;
vector<edge> G[maxn];
int dis[maxn][maxn];//dis[i][j]表示i->j的最短距离
int a,b,c;

void Dijsktra(int s){
priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > q;//优先队列优化，维护最短路径
memset(dis,INF,sizeof(dis));
dis[s][s]=0;;
q.push(P(0,s));
while(!q.empty()){
P p=q.top();q.pop();
int v=p.second;
if(dis[s][v]<p.first) continue;
for(int i=0;i<G[v].size();i++){//更新最短路径
edge e=G[v][i];
if(dis[s][e.to]>dis[s][v]+e.cost){
dis[s][e.to]=dis[s][v]+e.cost;
q.push(P(dis[s][e.to],e.to));
}
}
}
}

③Bellman-Ford算法：

Bellman-Ford算法可以解决帶负环的问题。这也是它相对于上面两个算法最大的优势所在。

对每一条边e[x]，如果dis[edge[x].u]>dis[edge[x].v]+edge[x].w,则edge[x].u=edge[x].v+edge[x].w;该操作至多只需要进行n-1次

为了判断图中是否存在负环，即权值之和<0的环路，对于每一条边e[x]，如果存在dis[e[x].u]>dis[edge[x].v]+edge[x].w,则图中存在负环，无法求出单源最短路径。

（推荐提：POJ 1860）

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1010;
int dis[maxn];
int e;

void init(){
memset(dis,INF,sizeof(dis));
e=0;
}

struct node{
int u;
int v;
int w;
}edge[maxn];

void addEdge(int u,int v,int w){
edge[e].u=u,edge[e].v=v,edge[e].w=w;
e++;
}

void relax(int x){//松弛操作
if(dis[edge[x].u]>dis[edge[x].v]+edge[x].w){
edge[x].u=edge[x].v+edge[x].w;
}
}

bool Bellman_Ford(int src){
dis[src]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<e;j++){
relax(j);//对每一条变进行松弛操作
}
}
for(int i=0;i<e;i++){
if(dis[edge[i].u]>dis[edge[i].v]+edge[i].w){
return false;//有回路
}
}
return true;//无回路
}

④SPFA最短路算法

SPFA其实是Bellman-Ford算法的队列优化。

先取队首元素u，并将其出队，取消标记，将于点u直接相连的所有点进行松弛操作，如果能进行松弛，那么就更新dis数组。

更新结束后，判断该点是否在队列中，如果不在，那么将点入列，然后进行标记。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过n次，则存在负环。

下面给出用STL队列实现的算法：

（推荐题:POJ 3259）

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1010;
int dis[maxn],head[maxn],inQueue[maxn];
bool vis[maxn];
int e;

void init(){
memset(dis,INF,sizeof(dis));
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(inQueue,0,sizeof(inQueue));
e=0;
}

struct node{//链式前向星建图
int v;
int w;
int next;
}edge[maxn];

void addEdge(int u,int v,int w){
edge[e].v=v,edge[e].w=w,edge[e].next=head[u],head[u]=e;
e++;
}

bool Spfa(int src){
dis[src]=0;
vis[src]=1;
queue<int>Q;
Q.push(src);//源点放入队列
while(!Q.empty()){
int s=Q.front();
Q.pop();
vis[s]=0;//出队时取消标记
inQueue[s]++;
if(inQueue[s]>n) return false;//如果一个点入队n次，表明存在负环
for(int i=head[s];i!=-1;i=edge[s].next){
if(dis[edge[i].v]>dis[s]+edge[i].w){//松弛操作
dis[edge[i].v]=dis[s]+edge[i].w;
if(!vis[edge[i].v]){
vis[edge[i].v]=1;//入队时进行标记
Q.push(edge[i].v);
}
}
}
}
return true;
}

如果想要快速判断是否存在负环，Dfs深搜的效率会明显较高。

在无负环的情况下，选择Dijsktra最短路算法效率会比较高，SPFA算法的时间不稳定，Bellman-Ford和Floyd算法的效率都比较高。

在有负环的情况下，选择SPFA算法会比较合理一些。