【NOIP2015模拟10.20】ACM

题意

Zagreb大学的ACM队伍（由三个人组成）正在打Final。他们的技术指导提出了一个牛逼的策略如下。

在一开始，队伍的每一个人会评估每一道题的难度，难度会用1~5的整数表示，数字越大题目越难。然后他们会分配题目给每个人。题目会分成三个部分，每个队员会拿到一个非空的连续的题目代表了他要解决的问题。他们的策略是让难度评估系数最小。难度评估系数是三个队员对各自所拿到题目的难度评估的总和。你的任务是计算这个最小的难度评估系数。

第一行包括了一个整数N（3<=N<=150000），代表题目数量。

接下来的三行，每行N个1~5的整数，每一行代表一个队员对N道题的难度评估。

分析

可以用dp解决。

首先我们可以先解决了分成三部分的问题，这可以直接dfs处理，便可以考虑一种单一的情况了。

接下来怎么办呢？

方法一

照常的，我们先列出最暴力的dp方程：

f[i,j]=max(f[k,j−1]+sum[i,j]−sum[k−1,j],f[i,j])f[i,j]=max(f[k,j-1]+sum[i,j]-sum[k-1,j],f[i,j])

i表示做到第几道题，j表示第几阶段(j<=3)。

接下来我们便可以去思考如何优化了，

首先我们可以用斜率优化：

f[k,j−1]+sum[i]−sum[k−1]<f[l,j−1]+sum[i]−sum[l−1]f[k,j-1]+sum[i]-sum[k-1]

那么便是要求f[l,j−1]−sum[l−1]f[l,j-1]-sum[l-1]最大。

那么便可以O(n)地解决问题，边维护边计算。

方法二

我们不仅可以列刚刚的dp方程，我们还可以列一个更直接的方程：

f[i,j]=max(f[i−1,j]+a[i,j],f[i−1,j−1]+a[i,j])f[i,j]=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i-1,j-1]+a[i,j])

简单明了，可以接着选，也可以从这里分割。