【UER #4】被粉碎的数字

题意

很久很久以前，有一个数字加入了 UOJ 群。

这天，在它讨论“一个数字应该怎么取模”的时候一不小心被删除了，变成了被粉碎的数字。

突然间，它突然发现它忘记了自己是谁。这让它感觉很焦躁，于是它来拜托你来帮它找到它所代表的整数 x。

在经过一番询问之后，你整理了一下现在你得到的线索：

已知整数 R，有 1≤x≤R

定义函数 f(x) 为 x 的各位数字之和，例如 f(13)=4,f(233)=8。已知整数 k，有 f(x)=f(k×x)

然而遗憾的是，你发现即使拥有了这些条件，可能的 x 依然有很多个。因此，为了进一步缩小排查范围，你想要知道满足这两个条件的整数有多少个。

60%特殊的打表技巧

若我们一个一个算f(x)会只能得30分，但我们可以打10610^6的表，那么计算时我们可以这样写：f(x)=f(x/106)+f(xmod106)f(x)=f(x/10^6)+f(x mod 10^6)；

这样便可以多拿30分了。

分析

数位dp..

感觉自己掌握的不够熟练，一出类似的题不能很快想出来。

f[i,sum,sum1,r,p]f[i,sum,sum1,r,p]为（从低位到高位）第i位，原数前i位的数字和为sum,原数乘上k的数的数字和为sum1，原数上次乘k的数的进位r，和这个数是否比R大，p，的数字的个数。

首先明显的乘法，所以只能从低到高（和上次的光棍不同。。）

而这个转移也是比较轻松的：

f[i+1][sum+chmod10][sum1+(k∗ch+r)mod10][(k∗ch+r)/10][p]+=f[i][sum][r][pd]; f[i+1][sum+chmod 10][sum1+(k*ch+r)mod10][(k*ch+r)/10][p]+=f[i][sum][r][pd];

但是转移时间过大，所以我们只能继续优化：

我们发现我们最后要求的是sum=sum1，所以我们可以把它转化成差的形式：

f[i+1][sum+ch−(k∗ch+r)mod10][k∗ch+r)/10][p]+=f[i][sum][r][pd]; f[i+1][sum+ch-(k*ch+r)mod10][k*ch+r)/10][p]+=f[i][sum][r][pd];

到此便可以很好解决问题了。

注意

但是求答案时我们却不能认为答案为f[bit[0]][0][0]f[bit[0]][0][0]，因为我们会发现这里依然会有进位，所以我们只能再算几次，把它的进位算完（多的几位，可以理解成这几位选0即可）再统计答案。

还有这题和之前的光棍不同，因为要乘法就要从低位算，而不用乘法的，可以从高位算，便可以直接统计答案，无需多算。

注意边界的计算,进位最多999，差最多20*10*2=400;

（请读者思考）

最后可能读者看完下面的程序后会认为f会多算一些比R要大的数，但是我们再统计答案时强制让数为小于等于R即p=0;

[code] hljs cpp">#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int k,bit[25],p,x,y;
long long f[25][410][1005][2],t;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&t,&k);
    int po=0;
    while (t!=0) bit[++po]=t%10,t=t/10;
    f[0][200][0][0]=1;
    fo(i,0,po+2)
        fo(r,0,999)
      fo(sum,0,400)
          fo(pd,0,1)
            if (f[i][sum][r][pd])
            fo(ch,0,9){
                if (ch>bit[i+1]) p=1;
                else if (ch<bit[i+1]) p=0;
                else p=pd;
                x=(k*ch+r)/10;y=sum+ch-(k*ch+r)%10;
                f[i+1][y][x][p]+=f[i][sum][r][pd];
            }
    printf("%lld",f[po+3][200][0][0]-1);=
}