一道博弈的面试题及其算法正确性证明

题目是这样子的：一堆石子有N个，两个人轮流取石头，限制条件如下：

每个人一次只能取1~3个石头。

假设两人足够聪明（如果可以胜利，不会放水或者愚蠢的取石头）

胜负条件是最后取完石头的人算输（甲取完，石头正好没了，甲输）,那么对于先取石头的人来说，怎么样的石头数量才能保证其一定赢得游戏，或者输掉游戏。

这道题目算是一个简单的博弈问题，分析问题的基础情况，记先取的人必赢为MW（Must Win），先取的人必输为ML（Must Lose)：

N=1：ML。

N=2：MW(先取者只需取一个，即可获胜）。

N=3 : MW (先取者只需取两个，即可获胜）。

N=4：MW（先取者只需取三个，即可获胜）。

N=5：ML（无论先取几个，实际上留下的石头数量都会使后取者到达必赢得位置上）。

N=6：MW（先取者先取一个，使后取者被推到必输的位置上）

……

从上面的推理我们可以看出，博弈获胜的关键在于，N的数量决定了先取者是否能获胜，可以列出ML的时候，N=1，5，9，13.。。，即N满足N%4=1的时候，先取者必输，因为在这些点上，先取者无论用怎样的策略都会使对方进到必赢得位置上，那么如何来证明这个猜想的正确性呢？

在面试的时候，我们自然的先由以上简单的尝试来寻找规律，当总结出规律进行验证时，采用数学归纳法进行验证：

当N=1的时候，很明显ML。

假设当N%4=1的时候，ML成立。

当（N+4）%4=1的时候，有以下三种情况：先取一个，剩下N+3个石头不满足式子，后取者进入必赢模式；先取两个和先取三个同理可得。则所推公式正确性得证。

那么如果取1~K个石头，同样也可以得到关键公式为N%（k+1)=1；

考虑这类博弈问题的一个关键点就在于：

1. 对于所有的MW模式，一定存在一个MW模式到ML模式的转换。

2. 对于所有的ML模式，对于所有的转换都是ML模式到MW模式。

把握好这两个特性，便可在面试遇到这类问题时比较思路清晰的分析问题了。