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C++线性时间的排序算法分析

2014-08-14 11:27 1471 查看

前面的文章已经介绍了几种排序算法,如插入排序(直接插入排序,折半插入排序,希尔排序)、交换排序(冒泡排序,快速排序)、选择排序(简单选择排序,堆排序)、2-路归并排序(可以参考前一篇文章:各种内部排序算法的实现)等,这些排序算法都有一个共同的特点,就是基于比较。

本文将介绍三种非比较的排序算法:计数排序,基数排序,桶排序。它们将突破比较排序的Ω(nlgn)下界,以线性时间运行。

一、比较排序算法的时间下界

所谓的比较排序是指通过比较来决定元素间的相对次序。

“定理:对于含n个元素的一个输入序列,任何比较排序算法在最坏情况下,都需要做Ω(nlgn)次比较。”
也就是说,比较排序算法的运行速度不会快于nlgn,这就是基于比较的排序算法的时间下界。

通过决策树(Decision-Tree)可以证明这个定理,关于决策树的定义以及证明过程在这里就不赘述了。读者可以自己去查找资料,这里推荐大家看一看麻省理工学院公开课:算法导论的《MIT公开课:线性时间排序》

根据上面的定理,我们知道任何比较排序算法的运行时间不会快于nlgn。那么我们是否可以突破这个限制呢?当然可以,接下来我们将介绍三种线性时间的排序算法,它们都不是通过比较来排序的,因此,下界Ω(nlgn)对它们不适用。

二、计数排序(Counting Sort)

计数排序的基本思想就是对每一个输入元素x,确定小于x的元素的个数,这样就可以把x直接放在它在最终输出数组的位置上,例如:

 

算法的步骤大致如下:

①.找出待排序的数组中最大和最小的元素

②.统计数组中每个值为i的元素出现的次数,存入数组C的第i项

③.对所有的计数累加(从C中的第一个元素开始,每一项和前一项相加)

④.反向填充目标数组:将每个元素i放在新数组的第C(i)项,每放一个元素就将C(i)减去1

C++代码如下:

/*************************************************************************
> File Name: CountingSort.cpp
> Author: SongLee
************************************************************************/
#include<iostream>
using namespace std;
/*
*计数排序:A和B为待排和目标数组,k为数组中最大值,len为数组长度
*/
void CountingSort(int A[], int B[], int k, int len)
{
int C[k+1];
for(int i=0; i<k+1; ++i)
C[i] = 0;
for(int i=0; i<len; ++i)
C[A[i]] += 1;
for(int i=1; i<k+1; ++i)
C[i] = C[i] + C[i-1];
for(int i=len-1; i>=0; --i)
{
B[C[A[i]]-1] = A[i];
C[A[i]] -= 1;
}
}
/* 输出数组 */
void print(int arr[], int len)
{
for(int i=0; i<len; ++i)
cout << arr[i] << " ";
cout << endl;
}
/* 测试 */
int main()
{
int origin[8] = {4,5,3,0,2,1,15,6};
int result[8];
print(origin, 8);
CountingSort(origin, result, 15, 8);
print(result, 8);
return 0;
}

当输入的元素是0到k之间的整数时,时间复杂度是O(n+k),空间复杂度也是O(n+k)。当k不是很大并且序列比较集中时,计数排序是一个很有效的排序算法。计数排序是一个稳定的排序算法。

可能你会发现,计数排序似乎饶了点弯子,比如当我们刚刚统计出C,C[i]可以表示A中值为i的元素的个数,此时我们直接顺序地扫描C,就可以求出排序后的结果。的确是这样,不过这种方法不再是计数排序,而是桶排序,确切地说,是桶排序的一种特殊情况。

三、桶排序(Bucket Sort)

桶排序(Bucket Sort)的思想是将数组分到有限数量的桶子里。每个桶子再个别排序(有可能再使用别的排序算法)。当要被排序的数组内的数值是均匀分配的时候,桶排序可以以线性时间运行。桶排序过程动画演示:Bucket Sort,桶排序原理图如下:

 

C++代码如下:

/*************************************************************************
> File Name: BucketSort.cpp
> Author: SongLee
************************************************************************/
#include<iostream>
using namespace std;
/* 节点 */
struct node
{
int value;
node* next;
};
/* 桶排序 */
void BucketSort(int A[], int max, int len)
{
node bucket[len];
int count=0;
for(int i=0; i<len; ++i)
{
bucket[i].value = 0;
bucket[i].next = NULL;
}
for(int i=0; i<len; ++i)
{
node *ist = new node();
ist->value = A[i];
ist->next = NULL;
int idx = A[i]*len/(max+1); // 计算索引
if(bucket[idx].next == NULL)
{
bucket[idx].next = ist;
}
else /* 按大小顺序插入链表相应位置 */
{
node *p = &bucket[idx];
node *q = p->next;
while(q!=NULL && q->value <= A[i])
{
p = q;
q = p->next;
}
ist->next = q;
p->next = ist;
}
}
for(int i=0; i<len; ++i)
{
node *p = bucket[i].next;
if(p == NULL)
continue;
while(p!= NULL)
{
A[count++] = p->value;
p = p->next;
}
}
}
/* 输出数组 */
void print(int A[], int len)
{
for(int i=0; i<len; ++i)
cout << A[i] << " ";
cout << endl;
}
/* 测试 */
int main()
{
int row[11] = {24,37,44,12,89,93,77,61,58,3,100};
print(row, 11);
BucketSort(row, 235, 11);
print(row, 11);
return 0;
}

四、基数排序(Radix Sort)

基数排序(Radix Sort)是一种非比较型排序算法,它将整数按位数切割成不同的数字,然后按每个位分别进行排序。基数排序的方式可以采用MSD(Most significant digital)或LSD(Least significant digital),MSD是从最高有效位开始排序,而LSD是从最低有效位开始排序。

当然我们可以采用MSD方式排序,按最高有效位进行排序,将最高有效位相同的放到一堆,然后再按下一个有效位对每个堆中的数递归地排序,最后再将结果合并起来。但是,这样会产生很多中间堆。所以,通常基数排序采用的是LSD方式。

LSD基数排序实现的基本思路是将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度,数位较短的数前面补零。然后,从最低位开始,依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后, 数列就变成一个有序序列。需要注意的是,对每一个数位进行排序的算法必须是稳定的,否则就会取消前一次排序的结果。通常我们使用计数排序或者桶排序作为基数排序的辅助算法。基数排序过程动画演示:Radix Sort

C++实现(使用计数排序)如下:

/*************************************************************************
> File Name: RadixSort.cpp
> Author: SongLee
************************************************************************/
#include<iostream>
using namespace std;
// 找出整数num第n位的数字
int findIt(int num, int n)
{
int power = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
power *= 10;
}
return (num % power) * 10 / power;
}
// 基数排序(使用计数排序作为辅助)
void RadixSort(int A[], int len, int k)
{
for(int i=1; i<=k; ++i)
{
int C[10] = {0};  // 计数数组
int B[len];    // 结果数组
for(int j=0; j<len; ++j)
{
int d = findIt(A[j], i);
C[d] += 1;
}
for(int j=1; j<10; ++j)
C[j] = C[j] + C[j-1];
for(int j=len-1; j>=0; --j)
{
int d = findIt(A[j], i);
C[d] -= 1;
B[C[d]] = A[j];
}
// 将B中排好序的拷贝到A中
for(int j=0; j<len; ++j)
A[j] = B[j];
}
}
// 输出数组
void print(int A[], int len)
{
for(int i=0; i<len; ++i)
cout << A[i] << " ";
cout << endl;
}
// 测试
int main()
{
int A[8] = {332, 653, 632, 5, 755, 433, 722, 48};
print(A, 8);
RadixSort(A, 8, 3);
print(A, 8);
return 0;
}

基数排序的时间复杂度是 O(k・n),其中n是排序元素个数,k是数字位数。注意这不是说这个时间复杂度一定优于O(nlgn),因为n可能具有比较大的系数k。

另外,基数排序不仅可以对整数排序,也可以对有多个关键字域的记录进行排序。例如,根据三个关键字年、月、日来对日期进行排序。

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标签:  C++ 线性 排序 算法