九章算法面试题60 爬楼梯

九章算法官网-原文网址

http://www.jiuzhang.com/problem/60/

题目

有n层的台阶，一开始你站在第0层，每次可以爬两层或者一层。请问爬到第n层有多少种不同的方法？
Follow Up Question: 如果每次可以爬两层，和倒退一层，同一个位置不能重复走，请问爬到第n层有多少种不同的方法？

在线测试本题

http://www.lintcode.com/problem/climbing-stairs/

解答

这道题属于简单的数组一维动态规划

1. State:f[i] 表示爬到第i层的方法数目。

2. Function: f[i] = f[i-1] + f[i-2] 第i层的方法数目等于第i-1层数目加上第i-2层数目

3. Intialize: f[0] = 1, f[1] =1 初始化 最开始没有爬和第一层的方法数目为1.

4. Answer: f
爬到第n层有多少种不同的方法

Follow Up Question:

这道题与原来的题相比提升了一个难度，主要是倒退一层，这个地方可能会违背动态规划无后效性的原则。 那么我们要怎么转化呢？

由条件：同一个位置不能重复走。我们可以知道如果要退步的话，不能退两层以上，因为用两步退两层再一步前进两层，那就会走相同的位置。所以我们最多只能退后一步。

那么题目的条件就可以转换两种情况，

a.跳两层（前进两层）。

b.退一层跳两层 （前进一层）。

1. State:f[i][0] 表示最后一步是跳两层情况下爬到第i层的方法数目。f[i][1] 表示最后是一步是退一层跳两层的情况下爬到第i层的方法数目。

2. Function: f[i+1][1] = f[i][0] 最后一步是退一层跳两层的情况下爬到第i+1层的方法数目等于从第i层情况a的数目跳两层退一层。这里不能考虑第i层的情况b的方法数，因为第i层情况b的数目是从第i+1层退一步得到的。f[i+2][0] = f[i][0]+f[i][1] 最后一步是退一层跳两层的情况下爬到第i+2层的方法数目等于第i层所有情况跳两层。

3. Intialize: f[0][0]=1初始化最开始没有爬的方法数目为1.4. Answer: f
[0]+f
[1] 爬到第n层a、b两种不同的方法的总和