线性代数导论33——第三阶段总结

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
第三十三课时：第三阶段总结复习

本讲梳理知识要点：1）特征值与特征向量Ax=λx；2）微分方程；3）对称矩阵A=AT的特征值是实数，总存在足够的特征向量特征值使它可以对角化：A=QΛQT；4）正定矩阵是特征值均为正的对称矩阵；5）相似矩阵满足B=M-1AM，A与B的特征值相同，它的关键在于，通过不同的基表示同样的变换动作，且Bk=M-1AkM，所以，虽然M改变了矩阵的特征向量，但不会改变特征值；6）奇异值分解SVD。

1）矩阵可对角化的本质即要有足够的特征向量可以线性无关；

2）投影矩阵的特征值为0和1；

3）正交矩阵的特征值的绝对值等于1，正交矩阵的作用就像旋转，不会改变向量的长度；

4）当矩阵满足：AAT=ATA 时，A的特征向量正交。对称阵，反对称阵，正交矩阵 是满足此条件的三类矩阵；

5）SVD：任意矩阵 A=UΣVT=(orthog)(diag)(orthog)，V是ATA的特征向量矩阵，U是AAT的特征向量矩阵。具体做奇异值分解时，奇异值σ是对角矩阵Σ对角线上的元素，它的值等于（ATA）的特征值的正平方根，但值得注意的一点是：在求AAT的特征向量的时候，方向要由Avi=σiui来确定。

题1：解微分方程



求通解u(t)



求出特征向量和特征值，然后通过初始值确定c1,c2..常数。A的第一行和第三行线性相关，这是一个奇异矩阵，奇异矩阵的有一个特征值为0，同时，这是一个反对称矩阵，A=-AT，特征值为纯虚数。此解既不发散也不收敛于0，而是稳定在某值，且具有周期性。指数矩阵形式如下：



题2：已知3×3的矩阵的特征向量和两个特征值



1）这个矩阵可以对角化吗？当c满足什么条件时，矩阵可对角化。

因为矩阵能否对角化只与是否有足够多的特征向量有关，因此c为任何值时矩阵都可以对角化。

2）当c为何值时，矩阵是对称的？

这三个特征向量正交，对称轴的特征值都是实数。所以当c为实数时矩阵对称。

3）当c为何值时，矩阵是正定的？

因为有一个特征值是等于0的，所以矩阵不可能是正定的。但如果c>=0，矩阵是半正定的。

4）矩阵可能是马尔科夫矩阵吗？

不可能，因为马尔科夫矩阵的特征值都小于等于1.

5）A/2可能是投影矩阵吗？

投影矩阵的特征值为0和1， P2=P， λ2=λ，所以当c=2或0时满足条件。

题3：对于如下情况，因为奇异值不等于0，所以这个矩阵肯定是2×2可逆矩阵。



如果Σ对右下角不是2是0，那么矩阵A是一个奇异矩阵。秩为1，那么零空间呢？0特征值对应的特征向量是v2，v2就在零空间里。从SVD可以看到四个基本子空间。

题4：A对称且正交

1）A的特征值是1或-1。因为对称阵的特征值是实数，正交矩阵的特征的绝对值是1。

2）A是非奇异矩阵；

3）(A+I)/2 是投影矩阵。验证P2=P，且特征值为0和1.