POJ 3070 Fibonacci.(矩阵快速幂)

解题思路：用公式递推显然是会超时的，于是根据题目明显的提示，就想到用矩阵快速幂。

之所以快，是运用了二分的思想，算出了矩阵A的值，那么我可以一步算出A*A的值，进而一步算出A*A*A*A的值，进而……

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方法一：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 100000
#define MOD 10000
using namespace std;

int f
;
int Get(int n) //将n转化成二进制并存到数组f
{
int cnt=0;
while(n)
{
if(n%2) f[cnt++]=1;
else f[cnt++]=0;
n/=2;
}
return cnt;
}
int b[2][2],s[2][2]; //数组b保存矩阵A，A*A，A*A*A*A……数组s保存答案。
void Cal(int k)
{
int t[2][2];
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
t[i][j]=s[i][j];
if(k) //此二进制位为1.
{
s[0][0]=((t[0][0]*b[0][0])%MOD+(t[0][1]*b[1][0])%MOD)%MOD; //矩阵乘法
s[0][1]=((t[0][0]*b[0][1])%MOD+(t[0][1]*b[1][1])%MOD)%MOD;
s[1][0]=((t[1][0]*b[0][0])%MOD+(t[1][1]*b[1][0])%MOD)%MOD;
s[1][1]=((t[1][0]*b[0][1])%MOD+(t[1][1]*b[1][1])%MOD)%MOD;
}
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
t[i][j]=b[i][j];
//继续求下一个A*A*A*A*A*A*A*A……
b[0][0]=((t[0][0]*t[0][0])%MOD+(t[0][1]*t[1][0])%MOD)%MOD;
b[0][1]=((t[0][0]*t[0][1])%MOD+(t[0][1]*t[1][1])%MOD)%MOD;
b[1][0]=((t[1][0]*t[0][0])%MOD+(t[1][1]*t[1][0])%MOD)%MOD;
b[1][1]=((t[1][0]*t[0][1])%MOD+(t[1][1]*t[1][1])%MOD)%MOD;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)==1)
{
if(n==-1)
break;
int len=Get(n);
b[0][0]=1; b[0][1]=1; b[1][0]=1; b[1][1]=0;  //初始化。
s[0][0]=1; s[0][1]=0; s[1][0]=0; s[1][1]=1;
for(int i=0;i<len;i++)
Cal(f[i]);
printf("%d\n",s[0][1]);
}
return 0;
}

方法二：

更棒的解法来了，既然是二分，那么我们用递归的方法来写；

eg: S(6)=A^6; -> S(6)=S(3)*S(3);->S(3)=A*S(1)*S(1);S(1)=A; return；

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MOD 10000
using namespace std;

struct Matrix
{
int f[5][5];
};
int m=2; //矩阵为2*2
Matrix Mul(Matrix U,Matrix V) //矩阵相乘
{
Matrix S;
memset(S.f,0,sizeof(S.f));
for(int k=0;k<m;k++)
for(int i=0;i<m;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
S.f[k][i]=(U.f[k][j]*V.f[j][i]+S.f[k][i])%MOD;
return S;
}
Matrix Pow(Matrix S,int k) //求解 A^k
{
if(k==0)
{
memset(S.f,0,sizeof(S.f));
for(int i=0;i<m;i++)
S.f[i][i]=1;
return S;
}
if(k==1)
return S;
Matrix X=Pow(S,k/2);
if(k%2)
return Mul(Mul(X,X),S);
else
return Mul(X,X);
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)==1)
{
if(n==-1)
break;
Matrix A;
A.f[0][0]=1; A.f[0][1]=1;
A.f[1][0]=1; A.f[1][1]=0;
Matrix S=Pow(A,n);
printf("%d\n",S.f[0][1]);
}
return 0;
}