中国剩余定理（孙子定理）——POJ 1006

中国剩余定理

中国剩余定理可以描述为：
若某数x分别被d1、、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn，则可表示为下式：

x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD

其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数，而且被d1除，余数为1；（称为R1相对于d1的数论倒数）

R1 、
R2 、
… 、
Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数，而且被dn除，余数为1；

D是d1、d2、…、的最小公倍数；

R是任意整数（代表倍数），可根据实际需要决定；

且d1、、…、必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，…，n)都能求得.
（注：因为R1对d1求余为1，所以R1r1对d1求余为r1，这就是为什么是R1对d1求余为1的目的，其次，R2r2,R3r3…Rnrn对d1求余都是0）

如要讨论中国利余定理，同余（congruence）的概念可算是必须。
给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a-b是n的倍数。用符号a≡b(mod n)来代表。一般来说，a≡b(mod n)等同于a＝b+kn，而a，b，k，n都是整数，所以，13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。

但同余并不只是一个代号，而是有很方便和有趣的特性。（一）整数加法跟普通加法相似，a+c≡(b+c)(mod n)；（二）整数乘法跟普通乘法相似，ac≡bc(mod n)，而a，b，c，n都是整数。但如果ac≡bc(mod n)，则不一定a≡b(mod n)。

以「鬼谷算」为例，假设x是那个未知数，而除3，5，7后的余数分别为r1，r2，r3。因此有

x≡r1(mod 3)



x≡r2(mod 5)



x≡r3(mod 7)



而另一方面

70＝(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7)



21＝(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7)



15＝(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5)



由同余的特性，我们有

70r1≡r1(mod 3)、70r1≡0(mod 5)及70r1≡0(mod 7)



21r2≡0(mod 3)、 21r2≡r2(mod 5)及21r2≡0(mod 7)



15r3≡0(mod 3)、 15r3≡0(mod 5)及15r3≡r3(mod 7)



因此亦有

70r1+21r2+15r3≡r1(mod 3)



70r1+21r2+15r3≡r2(mod 5)



70r1+21r2+15r3≡r3(mod 7)
所以
x≡70r1+21r2+15r3+3m
x≡70r1+21r2+15r3+5n

x≡70r1+21r2+15r3+7p

最后得到这个精彩的结果，x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105)，而105正便是3，5，7的最小公偣数。所以其实在很多数字可以满足这几个余数条件的，要找到最小值才要减105。

上文转自：http://blog.csdn.net/wtq493841534/article/details/5452720

生理周期

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Description

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。
Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。

当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。
Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。

采用以下格式：

Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.

注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。
Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

题意：其实意思就是求一个数X除以23余p，除以28余e，除以33余i，且X大于d，问X最小为？

思路：裸的中国剩余定理问题。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int p, e, i, d, w = 0;
	int R1 = 5544, R2 = 14421, R3 = 1288;
	while(~scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d), -1 != p)
	{
		int X;
		X = (R1 * p + R2 * e + R3 * i) % 21252;
		if(X - d <= 0) X = X - d + 21252;
		else X -= d;
		printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", ++w, X);
	}
	/*
	for(i=2; i< 100000; i++)
		if(((i - 1) % 33==0) && (i % 644==0)) break;
	printf("%d\n", i);
	*/
	return 0;
}