NYOJ143 第几是谁？ 【逆康托展开】

第几是谁？

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难度：3

描述
现在有"abcdefghijkl”12个字符，将其按字典序排列，如果给出任意一种排列，我们能说出这个排列在所有的排列中是第几小的。但是现在我们给出它是第几小，需要你求出它所代表的序列.

输入
第一行有一个整数n（0<n<=10000）;

随后有n行，每行是一个整数m，它代表着序列的第几小；
输出
输出一个序列，占一行，代表着第m小的序列。
样例输入

3
1
302715242
260726926

样例输出

abcdefghijkl
hgebkflacdji
gfkedhjblcia

来源
[路过这]原创
上传者
路过这

以下资料参考自张朋飞学长的博客，（因为他好像也是HPU的）。

1.康托展开的解释

康托展开就是一种特殊的哈希函数

　　把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a
*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!

　　其中，a为整数，并且0<=a<i,i=1,2,..,n

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个 

。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以 

有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

 

　　康托展开的代码（C语言）：

　　//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.

　　int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//...

　　long cantor(int s[],int n){

　　int i,j,temp,num;

　　num=0;

　　for(i=1;i<n;i++){//n为位数

　　temp=0;

　　for(int j=i+1;j<=n;j++){

　　if(s[j]<s[i]) temp++;

　　}

　　num+=fac[n-i]*temp;

　　}

　　return (num+1);

　　}

\

 

康托展开的逆运算

　　例 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

　　(1)找出第96个数

　　首先用96-1得到95

　　用95去除4! 得到3余23

　　用23去除3! 得到3余5

　　用5去除2!得到2余1

　　用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4

　　所以第一位是4

　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）

　　有2个数比它小的数是3

　　有1个数比它小的数是2

　　最后一个数只能是1

　　所以这个数是45321

　　(2)找出第16个数

　　首先用16-1得到15

　　用15去除4!得到0余15

　　用15去除3!得到2余3

　　用3去除2!得到1余1

　　用1去除1!得到1余0

　　有0个数比它小的数是1

　　有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

　　有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

　　有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

　　最后一个数只能是2

　　所以这个数是14352

#include <stdio.h>
#include <string.h>

char str[15];
bool vis[15];

const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040,
40320, 362880, 3628800, 39916800};

int Find(int k) {
for(int i = 0; i < 12; ++i)
if(!vis[i] && 0 == k--)
return (vis[i] = 1, i);
}

int main() {
int t, n, i, a, b, id;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
scanf("%d", &n);
memset(vis, 0, sizeof(vis));
b = n - 1; id = 0;
for(i = 11; i; --i) {
a = b / fac[i];
b = b % fac[i];
str[id++] = 'a' + Find(a);
}
str[id++] = 'a' + Find(0);
printf("%s\n", str);
}
return 0;
}