[LeetCode] Longest Palindrome Substring 详细分析

Given a string S,
find the longest palindromic substring in S.
You may assume that the maximum length of S is
1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

面DP题的考官都是神经病。。(吐槽)

貌似挺容易出回文的题，那么今天仔细分析下DP的做法！！以解我被DP问题虐成渣渣的心碎感觉。如有错误请指出~

首先，拿了这个题，至少也可以给出一个O(n^3)的算法，2层for循环加每次检查一遍substring是不是回文。我给出了一个必定超时的代码以供参考。

public String longestPalindrome(String s) {
if(s==null) return null;
// String[][] dp= new String[1000][1000];
// Arrays.fill(dp,1);
int max=1;
String result=s.substring(0,1);
for(int i=0;i<s.length()-1;i++){
for(int j=i+1;j<s.length();j++){
String temp=s.substring(i,j+1);
if(ifPalin(temp)){
if(max<temp.length()){
max=temp.length();
result=temp;
}
if(max==s.length())
return result;
}
}
}

return result;

}

public boolean ifPalin(String s){
if(s==null) return true;
int start=0;
int end=s.length()-1;

while(start<end){
if(s.charAt(start++)!=s.charAt(end--)){
return false;
}
}

return true;
}

这显然不够！如何优化？你会想到这种恶心题，dp那是必然的。那么要分析回文，必定要考虑到所有的情况。

↑上面Naive的方法超时原因是因为：每次循环，都得看一遍当前子串是不是回文，那么如何解决这种重复性的工作呢？

通过对回文性质的分析，我们可以看出来： 如果中间的某一段子串sub是回文，如果sub两侧的字符是一样的，那么作为一个整体也是回文。例如：

abcdcba : d是回文，cdc那么就是回文。 如果你再想一下，cdc是回文，两侧b是一样的，bcdcb也是回文。咦，那么abcdcba就是回文了呗。

通过上个例子我们直接知道了答案。这是特例，那么对于一般情况如何是好呢？所以第一个思路就是根据顺向的思维推导出来的：

我们申明一个dp[][]来储存状态。 对于dp[i][j]来说， 其意义就是 s.substring(i,j+1)是不是回文。

（1）既然我们不知道哪里为中心，向外拓展就能得到答案。那么就以每个字符为中心，向外拓展，保存一个最大的量，问题就解决了！

我们得初始化下dp, 单个字符是，所以dp[i][i]=true.

可是还有种情况， abcddcba，中间是两个，不是一个，这也能构成回文，这怎么办！

其实也好办，我们就看看s.charAt(i)==s.charAt(i+1),如果是，就是回文，我们就set dp[i][i+1]=true

有了基础的case，我们1层for循环移动中心点，用两个指针start，end，分别拓展这两种情况，来分析回文，即可找出最大值。代码如下：

public String longestPalindrome(String s) {
if(s==null) return null;
boolean[][] dp= new boolean[s.length()][s.length()];
//define dp[i][j] is if s.substring(i,j+1) is palindrome:
int max=1;
String result=s.substring(0,1);
for(int i=0;i<s.length();i++){
dp[i][i]=true;
}
for(int i=0;i<s.length()-1;i++){
if(s.charAt(i)==s.charAt(i+1)){
dp[i][i+1]=true;
result=s.substring(i,i+2);
max=2;
}
}
for(int i=1;i<s.length()-1;i++){
int start=i-1,end=i+1;  //aba的情况
while(start>=0 && end<=s.length()-1){
if(dp[i][i] && s.charAt(start)==s.charAt(end)){
dp[start][end]=true;
if(max<end-start+1){
max=end-start+1;
result=s.substring(start,end+1);
}
} else {
break;
}
start--;end++;
}
start=i-1;end=i+2;  //abba的情况
while(start>=0 && end<=s.length()-1){
if(dp[i][i+1] && s.charAt(start)==s.charAt(end)){
dp[start][end]=true;
if(max<end-start+1){
max=end-start+1;
result=s.substring(start,end+1);
}
} else{
break;
}
start--;end++;
}
}

return result;

}

上面的代码啰嗦了点，应该能简化，我比较懒。。如果理解意思了就好办！

(2)上面的解法其实不太算dp，我们来考虑下真正的dp解法，但这个有时候很难想出来。。多琢磨吧。。

至少，如果你看到了这，耐心点再看一些，一定会理解dp解这个题的过程：

dp的思路是用以前做出来的结果作为基础，然后推导出新的结果。（2）的思路是：利用回文的性质，如果判断dp[i][j]是不是回文，那么要具备什么？

答案是：

1. s.charAt(i)==s.charAt(j)

2. dp[i+1][j-1] 是否为真

(这个代表当前的s.substring(i,j+1)往里面缩一个的substring是否是回文，有点绕。。举例： abccbfee, 如果i=0,j=5,也就是abccbf，dp[i][j]就是说abccbf是不是回文，根据之前的结果，如果s.charAt(i)==s.charAt(j)，并且，bccb也是回文，那么dp[i][j]就为真. 这个例子中 a!=f, 虽然dp[i+1][j-1]
（bccb）是回文，那也不能算真)

所以这样dp的精华就体现出来了：通过之前的结果，推导现在！

还有个关键点，就是dp的写法。下午我把dp数组打印了出来，横坐标i从后往前，j是从i 到最后。1代表true，是回文，0反之。

dp里面挺多是从后面来的，当然我们不能记结果，而是要明白为什么这么做。





回文的中心多数应该是在中心位置，所以，从后往前走，我们可以利用到之前的结果。 (从前往后走也是一样的，只不过循环的参数要相应的变一下)

然而是上面的条件还不够！如果说dp[i+1][j-1]为假，

但当i和j位置的字符是一致的，并且距离小于等于2的时候，那都是回文，原因是只有3种情况： a (i=j) aa (i=0,j=1) a*a(i=0,j=2) *表示任意字符. 所以这样我们可以当做回文。

接着i不动，j接着走，超出了2的距离，也有可能会遇到和i一样的字符，这时候是不是回文？那就得看dp[i+1][j-1]是不是回文，如果是，记录，判断是否超过当前最大长度。如果超过就替换最长字符串。

看第二张图，那三个1，其实就是例子中 abccbadd的推导过程， 当i=2的循环，j=2，是回文，记录。 i=2， j=3，“cc” 是回文，继续。 "ccb"不是回文,

以上就是全部的分析，建议看文章的童鞋自己推导一遍过程。只有理解了为什么这么做，才能真正理解dp，从而写出出精炼干净的dp代码

：下面代码是从大神那看到的，拿过来的。

public String longestPalindrome(String s) {
if(s==null || s.length()==1) return s;
boolean[][] dp= new boolean[s.length()][s.length()];
//define dp[i][j] is if s.substring(i,j+1) is palindrome:
int max=0;
String result=s.substring(0,1);
for(int i=s.length()-1;i>=0;i--){
for(int j=i;j<s.length();j++){
if(s.charAt(i)==s.charAt(j) && ((j-i<=2) || dp[i+1][j-1])){
dp[i][j]=true;
if(max<j-i+1){
max=j-i+1;
result=s.substring(i,j+1);
}
}
}
}
return result;
}