找出一个数组中出现次数超过一半的那个数字，要求时间复杂度O(n)和空间复杂度为O（1）。

数组中超过出现次数超过一半的数字

题目：数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字。

分析：编程之美上也有这道题，不过它变换了题目的表述形式，如下：寻找发帖水王：

Tango是微软亚洲研究院的一个试验项目，如图2-1所示。研究院的员工和实习生们都很喜欢在Tango上面交流灌水。传说，Tango有一大“水王”，他不但喜欢发帖，还会回复其他ID发的每个帖子。坊间风闻该“水王”发帖数目超过了帖子总数的一半。如果你有一个当前论坛上所有帖子（包括回帖）的列表，其中帖子作者的ID也在表中，你能快速找出这个传说中的Tango水王吗？

图2-1 Tango

咱们来解决这道题，以微软面试100题第74题的阐述为准（本程序员编程艺术系列就是按照之前整理的微软100题一题一题展开而来的）。

一个数组中有很多数，现在我们要找出这个数组中那个超过出现次数一半的数字，怎么找呢?大凡当我们碰到某一个杂乱无序的东西时，我们人的内心本质期望是希望把它梳理成有序的。所以，我们得分两种情况来讨论，无序和有序：

如果无序，那么我们是不是可以先把数组中所有这些数字先进行排序，至于选取什么排序方法则不在话下，最常用的快速排序O（N*logN）即可。排完序呢，直接遍历。在遍历整个数组的同时统计每个数字的出现次数，然后把那个出现次数超过一半的数字直接输出，题目便解答完成了。总的时间复杂度为O（N*logN+N）。
但各位再想想，如果是有序的数组呢或者经过上述由无序的数组变成有序后的数组呢？是否在排完序O（N*logN）后，真的还需要再遍历一次整个数组么?我们知道，既然是数组的话，那么我们可以根据数组索引支持直接定向到某一个数。我们发现，一个数字在数组中的出现次数超过了一半，那么在数组索引的N/2处（从零开始编号），就一定是这个数字。自此，我们只需要对整个数组排完序之后，然后直接输出数组中的第N/2处的数字即可，这个数字即是整个数组中出现次数超过一半的数字，总的时间复杂度由于少了最后一次整个数组的遍历，缩小到O（N*logN）。
然不论是上述思路一的O（N*logN+N），还是思路二的O（N*logN），时间复杂度并无本质性的改变。我们需要找到一种更为有效的思路或方法。既要要缩小总的时间复杂度，那么就用查找时间复杂度为O（1），事先预处理时间复杂度为O（N）的hash表。哈希表的键值（Key）为数组中的数字，值（Value）为该数字对应的次数。然后直接遍历整个hash表，找出每一个数字在对应的位置处出现的次数，输出那个出现次数超过一半的数字即可。
Hash表需要O（N）的开销空间，且要设计hash函数，还有没有更好的办法呢?我们可以试着这么考虑，如果每次删除两个不同的数（不管是不是我们要查找的那个出现次数超过一半的数字），那么，在剩下的数中，我们要查找的数（出现次数超过一半）出现的次数仍然超过总数的一半。通过不断重复这个过程，不断排除掉其它的数，最终找到那个出现次数超过一半的数字。这个方法，免去了上述思路一、二的排序，也避免了思路三空间O（N）的开销，总得说来，时间复杂度只有O（N），空间复杂度为O（1），不失为最佳方法。

或许，你还没有明白上述思路4的意思，举个简单的例子吧，如数组a[5]={0,1,2,1,1};

很显然，若我们要找出数组a中出现次数超过一半的数字，这个数字便是1，若根据上述思路4所述的方法来查找，我们应该怎么做呢?通过一次性遍历整个数组，然后每次删除相同的两个数字，过程如下简单表示：

0 1 2 1 1 =>2 1 1=>1,最终，1即为所找。

Ok，思路清楚了，那么接下来，咱们就来写代码实现上述思路4所述的方法：

//改自编程之美 2010

Type Find(Type* a, int N) //a代表数组，N代表数组长度

{

Type candidate;

int nTimes, i;

for(i = nTimes = 0; i < N; i++)

{

if(nTimes == 0)

{

candidate = a[i], nTimes = 1;

}

else

{

if(candidate == a[i])

nTimes++;

else

nTimes--;

}

}

return candidate;

}

咱们再来看一段代码，如下：

//@zhedahht：数组的特性：

// 数组中有个数字出现的次数超过了数组长度的一半。

// 也就是说，有个数字出现的次数比其他所有数字出现次数的和还要多。

//

// 因此我们可以考虑在遍历数组的时候保存两个值：一个是数组中的一个数字，一个是次数。

// 当我们遍历到下一个数字的时候，如果下一个数字和我们之前保存的数字相同，则次数加1。

// 如果下一个数字和我们之前保存的数字不同，则次数减1。

// 如果次数为零，我们需要保存下一个数字，并把次数设为1。

//

// 由于我们要找的数字出现的次数比其他所有数字出现的次数之和还要多，

// 那么要找的数字肯定是最后一次把次数设为1时对应的数字。

//copyright@zhedahht

//July,updated,

//2011.04.16。

#include <iostream>

using namespace std;

bool g_Input = false;

int Num(int* numbers, unsigned int length)

{

if(numbers == NULL && length == 0)

{

g_Input = true;

return 0;

}

g_Input = false;

int result = numbers[0];

int times = 1;

for(int i = 1; i < length; ++i)

{

if(numbers[i] == result)

times++;

else

times--;

if(times == 0)

{

result = numbers[i];

times = 1;

}

}

//检测输入是否有效。

times = 0;

for(i = 0; i < length; ++i)

{

if(numbers[i] == result)

times++;

}

if(times * 2 <= length)

//检测的标准是：如果数组中并不包含这么一个数字，那么输入将是无效的。

{

g_Input = true;

result = 0;

}

return result;

}

int main()

{

int a[10]={1,2,3,4,6,6,6,6,6};

int* n=a;

cout<<Num(a,9)<<endl;

return 0;

}

这段代码与上段代码本质上并无二致，不过有几个问题，还是需要我们注意：

当输入无效性时，要处理。比如数组长度为0。
最后，上述代码加了一个判断，如果数组中并不包含这么一个数字，那么输入也是无效的。因此在函数结束前还加了一段代码来验证输入是不是有效的。