一个整型数组里除了一个或者两个或者三个数字之外,其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)
2013-12-29 12:51
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题目中包括三个小的问题,由简单到复杂:
1,如果只有一个出现一次,考察到异或的性质,就是如果同一个数字和自己异或的活结果为零,那么循环遍历一遍数组,将数组中的元素全部做异或运算,那么出现两次的数字全部异或掉了,得到的结果就是只出现一次的那个数字。
2,如果有两个只出现一次的数字,设定为a,b。也是应用异或,但是数组元素全部异或的结果x=a^b,因为a,b是不相同的数字,因此x肯定不为0。对于x,从低位到高位开始,找到第一个bit位为1的位置设定为第m位,这个第m位的bit肯定来自a或者来自b,不可能同时a,b的第m位(从低到高位)都为1。这样,就可以根据这个第m位就可以把数组分为两个部分,一组为第m位为0,一组为第m位为1.这样,就把问题分解成了求两个数组中只出现一次的数字了。
3,考虑给定数组中有三个单独出现一次的数字,这个会比有两个的稍微复杂。分步分析,设定这三个数为a,b,c:
(1)将数组中的数字全部异或,得到的结果x=a^b^c,但是x不是a,b,c中的其中一个,假设x=a,那么b^c=0说明b=c,与题目给定的条件矛盾。
(2)设定f(n)可以像2中的那样,从低位开始,找到第一个bit为1的位置,f(x^a),f(x^b),f(x^c)得到的值肯定都不为0,因为x^a,x^b,x^c本身就不为0。f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果不为0。因为f(x^a)^f(x^b)的结果中可能为0,也可能有两个bit为1。如果假设f(x^c)的结果bit为1的位置与f(x^a)^f(x^b)的其中一个重合,则f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果中只有1个bit为1,如果不重合的话那么有3个bit位为1。
(3)这便可以推断出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)中至少有一个bit位为1。假设从低位到高位的第mbit位为1.那么可以得出结论x^a,x^b,x^c中有一个或者三个的第m位为1(不可能有两个,因为有两个的话,异或的结果就为0了)。
(4)证明,x^a,x^b,x^c中只有一个第m-bit位为1.假设他们的第m位都为1,那么x的第m位为0,但是x=a^b^c其第m位肯定为1,所以假设不成立。那么相反,假设x的第m位为1,a,b,c的第m位都为0,也不成立,因为x=a^b^c。所以综上所述x^a,x^b,x^c中只有一个第m位为1。那么这个问题就好办了。根据这个第m位找到第一个只出现一次的数字。然后剩下两个就是问题2所描述的问题。
1,如果只有一个出现一次,考察到异或的性质,就是如果同一个数字和自己异或的活结果为零,那么循环遍历一遍数组,将数组中的元素全部做异或运算,那么出现两次的数字全部异或掉了,得到的结果就是只出现一次的那个数字。
2,如果有两个只出现一次的数字,设定为a,b。也是应用异或,但是数组元素全部异或的结果x=a^b,因为a,b是不相同的数字,因此x肯定不为0。对于x,从低位到高位开始,找到第一个bit位为1的位置设定为第m位,这个第m位的bit肯定来自a或者来自b,不可能同时a,b的第m位(从低到高位)都为1。这样,就可以根据这个第m位就可以把数组分为两个部分,一组为第m位为0,一组为第m位为1.这样,就把问题分解成了求两个数组中只出现一次的数字了。
3,考虑给定数组中有三个单独出现一次的数字,这个会比有两个的稍微复杂。分步分析,设定这三个数为a,b,c:
(1)将数组中的数字全部异或,得到的结果x=a^b^c,但是x不是a,b,c中的其中一个,假设x=a,那么b^c=0说明b=c,与题目给定的条件矛盾。
(2)设定f(n)可以像2中的那样,从低位开始,找到第一个bit为1的位置,f(x^a),f(x^b),f(x^c)得到的值肯定都不为0,因为x^a,x^b,x^c本身就不为0。f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果不为0。因为f(x^a)^f(x^b)的结果中可能为0,也可能有两个bit为1。如果假设f(x^c)的结果bit为1的位置与f(x^a)^f(x^b)的其中一个重合,则f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果中只有1个bit为1,如果不重合的话那么有3个bit位为1。
(3)这便可以推断出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)中至少有一个bit位为1。假设从低位到高位的第mbit位为1.那么可以得出结论x^a,x^b,x^c中有一个或者三个的第m位为1(不可能有两个,因为有两个的话,异或的结果就为0了)。
(4)证明,x^a,x^b,x^c中只有一个第m-bit位为1.假设他们的第m位都为1,那么x的第m位为0,但是x=a^b^c其第m位肯定为1,所以假设不成立。那么相反,假设x的第m位为1,a,b,c的第m位都为0,也不成立,因为x=a^b^c。所以综上所述x^a,x^b,x^c中只有一个第m位为1。那么这个问题就好办了。根据这个第m位找到第一个只出现一次的数字。然后剩下两个就是问题2所描述的问题。
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