[BZOJ1257][CQOI2007]余数之和

[题目]

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4
+ 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

[算法]

二分

[分析]

可以将式子化简为 sigma (k - i * [k / i]) (1 <= i <= n), 进而可以化简为 k * n - sigma (i * [k / i]) 由于[k / i]单调递增并且连续一段i 的 [k/i]相等，可以用二分查出相等[k/i]的右端点，然后一起算

[注意]

原来的时候做这种题总是没有头绪。这种题目常常化成sigma的形式，然后化简，合并等等，最后就可以在时间复杂度限制内求解

[代码]

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Problem: 1257
User: gaotianyu1350
Language: C++
Result: Accepted
Time:92 ms
Memory:1272 kb
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;

#define INF 1000000000
long long n, k;
long long ans;

inline long long binary(long long left, long long right, long long ans)
{
while (left < right)
{
long long mid = (left + right + 1) >> 1;
long long tmp = (int)(k / mid);
if (tmp >= ans) left = mid;
else right = mid - 1;
}
return left;
}

int main()
{
scanf("%lld%lld", &n, &k);
ans = n * k;
long long i = 1;
while (i <= n)
{
long long rightBoard = binary(i, n, (int)(k / i));
ans -= ((i + rightBoard) * (rightBoard - i + 1) / 2) * (int)(k / i);
i = rightBoard + 1;
}
printf("%lld\n", ans);
}</span>