bzoj 1257: [CQOI2007]余数之和sum

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

solution

根据题目可以写出ans=∑i=1nk%i

首先知道一点 a%b 可以表示为 a−b∗⌊ab⌋，写过高精取模的人应该都知道

所以ans=∑i=1nk−i∗⌊ki⌋=n∗k−∑i=1ni∗⌊ki⌋

⌊ki⌋可以除法分块

对于⌊ki⌋相同的一部分，可以用等差数列求和公式来求

假设在相同的一块内⌊ki⌋=x，把 x 提出来那一块的答案就是x∗(i+i+1+⋯)

里面是差为1的等差数列，所以就可以用等差数列求和公式

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
ll n,k;
scanf("%lld%lld",&n,&k);
ll ans=n*k;
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
if(k/l!=0) r=min(k/(k/l),n);
else r=n;
ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}