您的位置：首页 > 其它

空间坐标变换的矩阵表示法

2014-03-27 10:05 302 查看


图8.1.1-1

所谓空间坐标变换(coordinate transform)，就是指空间任意点P在两个空间右手直角坐标系oxmymzm和oxnynzn中的坐标关系。
图8.1.1-1所示两个空间直角坐标系oxmymzm和oxnynzn（以下简称m坐标系和n坐标系）的原点重合于o点，称为共原点的两个坐标系。假设开始两坐标系的三个坐标轴分别重合，然后其中一个坐标系绕其中一个轴或两个轴转动。现分以下三种情况进行讨论。


n坐标系绕z轴逆时针转过q角。


图8.1.1-2
P点由n坐标系变换到m坐标系的坐标变换关系为




(8.1.1-1)

[align=right]为便于理解式(8.1.1-1)，现将图中xy平面内的坐标关系展开[/align]
在左图中。

由图中几何关系可知





用矩阵的形式表达为
(8.1.1-2)

式(8.1.1-2)可简写为
(8.1.1-3)
式中rm和rn为同一点P分别在两坐标系中的坐标列阵，即



Cmn为3×3方阵，即

8.1.1-4)
方阵符号Cmn的右下注脚mn表示该方阵是由n坐标系变换到m坐标系的变换矩阵。方阵Cmn中的每一个元素都是如表8.1.1所列相应两轴夹角的余弦，称方向余弦，故该方阵称为方向余弦矩阵(orientation
cosine matrix )。相应两轴夹角的余弦：如方阵第1行、第2列的(-sinq)可写成cos(90º+q)，其中(90º+q)即为xm轴与yn轴的夹角，参见图8.1.1-1所示。
表8.1.1
　xnynzn
xmcos(xm, xn)cos(xm, yn)cos(xm, zn)
ymcos(ym, xn)cos(ym, yn)cos(ym, zn)
zmcos(zm, xn)cos(zm, yn)cos(zm, zn)
根据运动相对性原理，图8.1.1-1所示两坐标系的相对位置关系，也可看作n坐标系相对不动，由m坐标系绕zm轴转过(-q)（即顺时针方向）角的结果。这样仿照式(8.1.1-3)可写出


(8.1.1-5)
再用(-q)代换式(8.1.1-4)中的q可得


(8.1.1-6)
方阵符号Cnm的右下注脚nm表示该方阵是由m坐标系变换到n坐标系的变换矩阵。
比较式(8.1.1-4)和式(8.1.1-6)可见，Cmn和Cnm既互为逆阵，又互为转置矩阵。这样就便于由其中一个方阵求得另一方阵（前者的逆阵）。
如图8.1.2-1所示，坐标系onxnynzn对omxmymzm相对位置的坐标变换，除了相对转动外，还有坐标系原点的相对移动，故属于不共原点的空间一般坐标变换。


图8.1.2-1
设n坐标系原点on在m坐标系中的坐标为

，而on的移动可用向量

表示。因此，空间任意点P在两坐标系中的坐标关系式变为


(8.1.2-1)

式中

则为on在m坐标系中的坐标列阵，即


(8.1.2-2)


图8.1.2-2
同理可写出P点由m坐标系转换至n坐标系的坐标变换关系式。
在空间连杆机构中常用的坐标变换如图8.1.2-2所示。两坐标系的相对位置是：xn轴同时垂直于zn和zm两轴，ln为zm和zn两轴间的最短距离

，垂足

至原点om的距离为sm。


两坐标系是如何进行变换的呢？


图8.1.2-3
可设想坐标系onxnynzn与omxmymzm原来是重合的，如图8.1.2-3所示。
1)首先使坐标系onxnynzn沿zm轴正向平移一段距离

至

位置。
2)接着n坐标系在

点进行共原点的坐标轴转动至

位置，并同最终所需的方位xn，yn，zn一致。
3)最后沿xn轴正向平移ln距离，到达图8.1.2-2所示的onxnynzn位置。
上述坐标变换过程可简记如下





图8.1.2-4
由图8.1.2-4知，从om点出发，建立空间任意点P的向量关系式为



即可写出由n坐标系变换到m坐标系的P点坐标变换式为


(8.1.2-3)
同理，根据运动相对性原理，也可设想n坐标系相对不动，得出m坐标系变换到n坐标系的P点坐标变换式。
m坐标系变换到n坐标系的P点坐标变换式：
设想坐标系omxmymzm与onxnynzn原来是重合的。首先使坐标系onxnynzn沿xn轴负方向平移ln距离,接着在

点进行共原点的坐标轴逆转动，使各轴方向与xm，ym，zm的方向一致。最后再沿zm轴的负方向平移sm距离，到达图示的omxmymzm位置。

由此可写出m坐标系变换到n坐标系的P点坐标变换式



内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理 点击这里给我发消息
标签： 
相关文章推荐
新的分享
章节导航