博弈游戏（2）-c#求解-英雄会在线编程题目

这道题写出思路后，好多人在问，可能当时写的匆忙，不够完善，今天重新修改下。

看看时间还早，在写一篇博客，记录下博弈游戏2的解法。

博弈游戏（2）

发布公司：
有 效 期：
赛 区：

CSDN
2014-02-26至2014-03-28
北京

难 度 等 级：
答 题 时 长：
编程语言要求：











120分钟
C C++ Java C#

题目详情

AB两个人玩一个取石子游戏，一共有n (n>=2)个石子，要求和规则如下：

（1）第一次由 A先取，至少取一个石子，至多取(n-1)个。

（2） 两个人轮流取石子，后面一个人取石子的数目至少为1，至多为上一个人石子数的2倍。

（3） 取到最后一颗石子的人为胜利者

（4） 两个人足够聪明。

问A是否有必胜策略？如果有的话，第一次他可以取多少个石子？如果有必胜策略，返回A第一次可以取得石子数可以保证必胜，并且如果有多个答案输出最小的。如果A无法必胜，输出-1。(2 <= n <= 100000000)

这道题还是有点意思的，最开始的思路就是递归调用，然后缓存中间值，得到结果。先说说这个不成熟的思路吧。

递归函数很简单，传入参数为：还剩余多少个石子，当前谁来取，之前的人取了多少个，这样三个参数。

函数里面就循环以下，看看取多少个石子必胜。

当把函数写完，测试调用，速度比较快，很快地出了答案，当把数据改为较大的时候，问题来了，报错，函数调用的次数太多，而且时间很长啊，看来此路不通啊，只能另想它法了。

经过了前面的小数据测试，发现了一些规律，形成了一些新的思路。

/********************************************************/

2014/7/23

重新整理下，发现之前写的比较模糊，很多人没看明白。

我们把当前石子数分为必胜数和必败数。

必胜数：指在不取尽石子的情况下,且满足基本条件下，一定有方法必然胜利。比如：4,6,7.....

必败数：指在不取尽石子的情况下，且满足基本条件下,无论如何取，均会失败。比如2,3,5.......

要分析这个是数是不是必胜数，先从分析必败数考虑，假设当前是一个必败数K，那么前一个人面前的数假设是N，那么有

K>(N-K)*2;这个公式是由条件不能取尽石子限制的，并且最多取前一个人取得石子的2倍得出来的，否则对于K，超出这个范围的取值区间，他一定可以把剩下的K个石子一次取完。

这里通过K得到一个N的上限值，但是，这是在分析尽量取到只剩下K的情况，比如说K=5时，我们分析出来N=7；也就是说，7个石子的时候，我们一步拿走2个石子，使剩下的直接面临5个石子的情况，他必然输。但是我们也可能多步达到取走石子，使后面的人面临数字5，也就是说，我一定要抢走数字6，后面的一个人就会面对数字5，这时候我们发现，抢数字6是不是相当于抢数字1？因此：从6开始标注到7，重新标注后就是1（6）,2（7），根据前面初始化的数据，2后面下一个必败数字是3，必然抢不到1，所以可以得到3-2+7=8，也就是K=5的时候，下一个必然失败的数字是K=8.

K=3,N=4,重新标注区间【4,4】为[1,1],此区间的下一个必败点是【2】，换算到前面的区间，得到下一个K=2-1+4=5

K=5,N=7,重新标注区间【6,7】为[1,2],此区间的下一个必败点是【3】，换算到前面的区间，得到下一个K=3-1+6=8

K=8,N=11,重新标注区间【9,11】为[1,3],此区间的下一个必败点是【5】，换算到前面的区间，得到下一个K=5-1+9=13

依次类推，很容易得到所有的K，而且这个必败点的数量很少。

那么第一步就很容易得出，这个数是不是必败的数了。

/**************************************************************************/

规律1：当前取石子的人，如果不能取尽石子，那么他应该取得石子数不超过总数的1/3,否则后面一个人肯定可以取尽石子。

这个地方需要注意：如果在他取石子的范围内，如果存在某个数字，让对方去取，无论对方如何取数，都会失败，那么我们把这个必然失败的数字标记为必然失败点。因此，第一步就是找出所有必然失败的点。这个很容易找到。

其次，如果能让对方面临必然失败的点，那么自己面临的这个数必然胜利。

如果是必然胜利，那么我们再进行下一步考虑，即最少取几个石子的问题。

试想：如果当前取石子的人，在规律一的范围内，取走某一些石子，使剩下的石子，让后面的人不管怎么取，都必输，那她自然必胜了。

有了前面的分析，现在一个问题是，最小可以取多少了？

为了说明此问题，我们先用一个数组来表示多少个石子，能否必胜，以及最少取多少。int[] array=new int[n+1],

array[1],表示只剩一个石子，则必然胜利。array[1]=1

array[2]，必输，array[2]=-1

array[3]，必输，array[3]=-1

array[4]，必胜，]array[4]=1，表示最少取一个，必然胜利

。。。。

后面的根据规律一，很容易得出答案，array
是不是必输（-1），

如果不是，可以根据规律一得到一个答案，即取到的石子数，但不一定是最小的哦。

这时候就要考虑第二个思路了：

规律二：我既然去了一个较大的数字后，剩下的，后取者必输，那么我能不能取一个较小的数，抢到必输数字的前一个数字，那么，后取者一定必输？这时候我们发现规律的，这不就是降次处理了嘛？

举例来说明：

array【1】=1

array【2】=-1

array【3】=-1

array【4】=1

array【5】=-1

array【6】=1

array【7】=2

array【8】=-1

array【9】=1

array【10】=2

array【11】=3

array【12】=1，当有12个石头的时候，相当于从9开始，到12，谁先抢到9，那么剩下8个石头，给谁都必输，那么冲12到9，就相当于4到1，即4个石头，最少取1个必然能抢到1，所以，依次类推，就可以求出array【n】=多少了

在实际编写过程中，经过测试，发现，n很大100000000，那么求出array
的时间还是接近3秒。

其实有了上面的分析过程，我们发现，后面基本上都是迭代前面的逻辑，所以，完全没有必要全部求出array
，只需要不停迭代降次处理，直到满足规律一，或者降次后能够满足规律二，就可以返回答案了。

这个代码量也不是特别的多，提交没问题。