关于中国剩余定理

为了复习某些数论……

经典求解同余方程，拓展Eculid是基础（需要求逆），除非想直接背程序的，都要先去看这个

网上证明比较多，我是之前看的NOI导刊上的

总结如下:（引用自qywyh，仅文字）

问题简单来说就是 a = ai (mod ni) 求未知数a,
以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:
设
n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有: a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则
a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:
对于 a=ai (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:
定义 mi = n1*n2*...nk / ni; ci = mi(mf mod ni); 其中 mi*mf mod ni = 1;
则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n) (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:
mi*mf mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

program p1006;
var
p,e,i,d,ans:integer;
t:longint;
begin
readln(p,e,i,d);
t:=0;
while (p<>-1) and (e<>-1) and (i<>-1) and (d<>-1) do begin
ans:=(p*5544+e*14421+i*1288) mod 21252-d;inc(t);
if ans<=0 then inc(ans,21252);
writeln('Case ',t,': the next triple peak occurs in ',ans,' days.');
readln(p,e,i,d);
end;
end.

poj1006