最大化平均值---二分搜索

有n个物品的重量和价值分别是w[i]和v[i]，从中选出K个物品使得单位重量的价值最大。

1<=k<=n<=10^4

1<=w[i],v[i]<=10^6

一般想到的是按单位价值对物品排序，然后贪心选取，但是这个方法是错误的，对于有样例不满足。我们一般用二分搜索来做（其实这就是一个01分数规划）

我们定义：

条件 C(x) :=可以选k个物品使得单位重量的价值不小于x。

因此原问题转换成了求解满足条件C(x)的最大x。那么怎么判断C(x)是否满足？

变形：（sigma(v[i])/sigma(w[i])）>=x (i 属于我们选择的某个物品集合S)

进一步：sigma(v[i]-x*w[i])>=0

于是：条件满足等价于选最大的k个和不小于0.于是排序贪心选择可以判断，每次判断的复杂度是O(nlogn)。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e4;
const double eps=1e-5;
int w[maxn],v[maxn],n,k;
double y[maxn];
bool check(double r)
{
for(int i=0;i<n;i++){
y[i]=v[i]-r*w[i];
}
sort(y,y+n);
reverse(y,y+n);
double sum=0;
for(int i=0;i<k;i++)
{
sum+=y[i];
}
return sum>=0;
}
int main()
{
while(cin>>n)
{
cin>>k;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>w[i]>>v[i];
double lb=0,ub=1e6;
while(ub-lb>eps)
{
double mid=(lb+ub)/2;
if(check(mid)) lb=mid;
else ub=mid;
}
printf("%.2f\n",ub);
}
return 0;
}

给一组测试：

3

2

2 2

5 3

2 1

输出：0.75