“生动”讲解——矩阵的空间变换

转载请注明本文出自大苞米的博客（http://blog.csdn.net/a396901990），谢谢支持！

几何图形的矩阵表示：

我们把每个顶点坐标看成一个行向量，采用齐次坐标法，即每个顶点坐标增加一个相同的分量1作为矩阵的一行，这样就可以用矩阵表示图形了。如：

平移变换：

如果平移向量是(a, b)，点(x, y)平移后的点为(x+a, y+b)。

如下图所示：

平移变换矩阵:

例子：

图形矩阵乘以平移向量的矩阵就可以得出平移后的图形矩阵。例如：

缩放变换：

缩放中心是坐标原点，点(x,y)缩放到点(my,ny)，m、n是缩放因子。

如下图所示：

缩放变换矩阵:

例子：

图形矩阵乘以缩放因子矩阵就可以得出缩放后的图形矩阵。例如：

旋转变换：

旋转中心是坐标原点。旋转角度是β。

如下图所示：

旋转变换矩阵:

例子：

图形矩阵乘以旋转角度矩阵就可以得出旋转后的图形矩阵。例如：

对称变换：

图形关于X轴的对称变换：



图形关于Y轴的对称变换：



图形关于原点的对称变换：

对称变换矩阵:

例子：

图形矩阵乘以对称变换矩阵就可以得出对称变换后的图形矩阵。例如：

错切变换：

图形关于X轴方向的错切变换，各点的纵坐标不变：



图形关于Y轴方向的错切变换，各点的横坐标不变：

错切变换矩阵:

例子：

图形矩阵乘以对称变换矩阵就可以得出错切变换后的图形矩阵。例如：

组合变换：

顾名思义，组合变换就是上面所介绍的平移变换，缩放变换，旋转变换， 对称变换，错切变换的相互作用之后产生的变换。

通过组合变换可以对图形实现“全方位”“无死角”的改变。

下面由一个例子来介绍一下组合变换：

题目：

分析：

通过之前的学习，我们知道这是一个旋转变换。



上面明确说明旋转矩阵是图形绕坐标原点，逆时针旋转的角度。

所以我们需要将M点先平移到坐标原点（最后还需反向平移这个向量）

1. 将M点平移到坐标原点：



点M(3,-1)，原点O(0,0)，所以平移向量为：

根据平移向量可以求得到平移矩阵为：=

平移后为：



2. 将图形绕原点顺时针旋转-90度：



所以可以求出旋转矩阵为：=

顺时针旋转-90度后为：



3. 以原点为中心，缩放因子为2缩放图形：



所以可以求出旋转矩阵为：=

缩放后的图形变化为：



4. 将图形反向平移（平移向量为OM，第一步的反向平移）：



点M(3,-1)，原点O(0,0)，所以平移向量为：

根据平移向量可以求得到平移矩阵为：=

平移后为：

结果：

P’= P · ···

=



新图形的顶点坐标依次是A′(9,7), B′(13,3), C′(11,-1), D′(9,3), E′(7,1)

最后：

这篇文章中的内容都是我从一个视频中截图来的，费这么大劲主要是为了方便以后回顾和复习。

原视频地址如下：http://v.baidu.com/watch/8701412763189445726.html

另外推荐两位大神的文章：

矩阵在Android的应用（爱哥）：http://blog.csdn.net/aigestudio/article/details/41799811

矩阵在Unity中的应用（墨半成霜）：http://blog.csdn.net/mobanchengshuang/article/details/41552557