线性代数——矩阵基本概念与随机矩阵 Stochastic Matrices

准备写一篇关于奇异值分解的文章，突然发现里面需要用到很多线性代数的知识。因此先介绍一下线性代数的基本概念和运算，有助于读者对奇异值分解的理解。

1 基本概念

　　一个矩阵就是有若干行和列组成的数字，相当于一个表格。

　　特别地，如果矩阵的行和列个数相同，则该矩阵为一个方阵。在矩阵中A中的元素aij，代表第i行第j列的元素。自左上角元素向右下角元素的连线为主对角线，主对角线上元素的和称为矩阵的迹。

　　


只有一行的矩阵叫做行矩阵，只有一列的矩阵叫做列矩阵。所有元素都为0的矩阵为空矩阵

如果一个矩阵只有对角线上的元素不为零，这样的矩阵叫对角阵。

如果一个对角矩阵所有元素都相等，叫做标量矩阵。特别地，如果所有元素都为1，叫做单位矩阵。

交换一个矩阵的行和列，所得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵



2 矩阵的秩

一个矩阵主对角线上方的元素都为0，该矩阵叫下对角矩阵。反之，如果下方元素都为0，叫上对角矩阵。

矩阵的秩等于矩阵中线性无关的行或列的个数中较小的一个。因此，将矩阵转化成等价的下对角矩阵，然后看有多少个非0列或转化成上对角矩阵，看有多少非0行。

下图举例说明



3 随机矩阵

如果矩阵中元素都为非负值，那么可以用每一行的每个元素除以这一行所有元素的和，来达到归一化的目的。