动态规划之最大子段和问题

问题描述：

给定由n个整数（包含负整数）组成的序列a1,a2,...,an，求该序列子段和的最大值。

当所有整数均为负值时定义其最大子段和为0。

依此定义，所求的最优值为：



例如，当(a1,a2 , a3 , a4 , a5 ,a6)=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，

最大子段和为：

11+（-4）+13 =20

1、最大子段和问题的简单算法：

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSum(int a[],int n,int &besti,int &bestj){
    int sum=0;
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=i;j<=n;j++)
        {
            int thissum=0;
            for(k=i;k<=j;k++)thissum+=a[k];     
            if(thissum>sum){
                sum=thissum;
                besti=i;
                bestj=j;               
            }      
        }
    return sum;
    }
int main(){
    int n,a[100],m,i,j,maxsum;
    cout<<"请输入整数序列的元素个数n:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"个)"<<endl;
    //for(m=1;m<=n;i++)
        //cin>>a[m];
    for(m=0;m<n;m++)
        cin>>a[m];
    int b[100];
    for(m=0;m<n;m++)
        b[m+1]=a[m];
    maxsum=MaxSum(b,n,i,j);
    cout<<"整数序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl;
    cout<<"besti="<<i<<endl;
    cout<<"bestj="<<j<<endl;
    system("pause");
    }

此算法的时间复杂度：O(n3)。

可对此算法进行适当改进，使其时间复杂度变为：O(n2)。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSum(int a[],int n,int &besti,int &bestj){
    int sum=0;
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        int thissum=0;
        for(j=i;j<=n;j++)
        {
            thissum+=a[j];     
            if(thissum>sum){
                sum=thissum;
                besti=i;
                bestj=j;               
            }      
        }
    }
    return sum;
    }
int main(){
    int n,a[100],m,i,j,maxsum;
    cout<<"请输入整数序列的元素个数n:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"个)"<<endl;
    //for(m=1;m<=n;i++)
        //cin>>a[m];
    for(m=0;m<n;m++)
        cin>>a[m];
    int b[100];
    for(m=0;m<n;m++)
        b[m+1]=a[m];
    maxsum=MaxSum(b,n,i,j);
    cout<<"整数序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl;
    cout<<"besti="<<i<<endl;
    cout<<"bestj="<<j<<endl;
    system("pause");
    }

2、最大子段和问题的分治法：

代码：

//最大子段和，分治算法。T(n)=O(nlog(n))。

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubSum(int a[],int left,int right){
    int sum=0;
    if(left==right)sum=a[left]>0?a[left]:0;
    else{
         int center=(left+right)/2;
         int leftsum=MaxSubSum(a,left,center);
         int rightsum=MaxSubSum(a,center+1,right);
         int s1=0;
         int lefts=0;
         for(int i=center;i>=left;i--){
                 lefts+=a[i];
                 if(lefts>s1)s1=lefts;
                 }
         int s2=0;
         int rights=0;
         for(int i=center+1;i<=right;i++){
                 rights+=a[i];
                 if(rights>s2)s2=rights;
                 }
         sum=s1+s2;
         if(sum<leftsum)sum=leftsum;
         if(sum<rightsum)sum=rightsum;
         }
    return sum;
}
int main(){
    int n,a[100],m,maxsum;
    cout<<"请输入整数序列的元素个数n:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"个)"<<endl;
    for(m=0;m<n;m++)
        cin>>a[m];
    int b[100];
    for(m=0;m<n;m++)
        b[m+1]=a[m];
    maxsum=MaxSubSum(b,1,n);
    cout<<"整数序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl;
    system("pause");
    }

3 最大子段和问题的动态规划算法：

代码：

//最大子段和，动态规划，T(n)=O(n)。

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSum(int n,int a[]){
    int sum=0;
    int b=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
            if(b>0)b+=a[i];
            else b=a[i];
            if(b>sum)sum=b;
            }
    return sum;
    }
int main(){
    int n,a[100],m,maxsum;
    cout<<"请输入整数序列的元素个数n:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"个)"<<endl;
    for(m=0;m<n;m++)
        cin>>a[m];
    int b[100];
    for(m=0;m<n;m++)
        b[m+1]=a[m];
    maxsum=MaxSum(n,b);
    cout<<"整数序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl;
    system("pause");
    }