动态规划 最大子段和问题

最大m子段和问题：给定由n个整数（可能为负）组成的序列a1、a2、a3...,an,以及一个正整数m，要求确定序列的m个不想交子段，使这m个子段的总和最大！

设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，并且第i个子段包含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n)，则所求的最优值为maxb(m,j)(m<=j<=n)。在这种定义下b(i,j)的递推公式：b(i,j)=max{b(i,j-1)+a[j],maxb(i-1,t)+a[j](i-1<=t<j)}(1<=i<=m,i<=j<=n)；b(i,j-1)+a[j]表示第i个包含a[j-1]和a[j]，maxb(i-1,t)+a[j]表示第i个子段仅包含a[j]。

这中定义很强悍，尤其是黄色标记部分，直接把b(i,j)把a[j]限制在第i段内，然后再分a[j-1]和a[j]都在子段内和只有a[j]，特殊的当m=1时，b(1,j)=max(b(1,j-1)+a[j],a[j]),1<=j<=n;如果翻译成文字的话，就是说在数组j位置的最大和子段（包含a[j]）等于数组在j-1位置的最大和子段（包含a(j-1)）加上a[j]和最大和子段只有a[j]的情况的最优值，当然所求解可以表示为maxb(1,j)(1<=j<=n)；其实如果光从b(1,j)=max(b(1,j-1)+a[j],a[j])这个等式本生出发我们很容易的观察出b(1,j-1)的正负直接决定着b(1,j)的取值，然后我们可以产生这中想法，如果b(1,j-1)为正，我就继续加，如果为负我就重新开始加！！！这样的话，写成程序就更简单，其实就是前面我写的最大子段和的动态规划方法的解释。。。（今天终于明白了！！！）

代码如下：

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#include<stdio.h>

int MaxSum1(int m,int n,int *a)//m为切割段数，n为数组大小

{

int i,j,k,sum;

if(n<m||m<1)

return 0;

int **b =new int *[m+1];

for(i=0;i<=m;i++)

b[i]=new int[n+1];

for(i=0;i<=m;i++)

b[i][0]=0;

for(j=1;j<=n;j++)

b[0][j]=0;

for(i=1;i<=m;i++)

for(j=i;j<=n-m+i;j++)

{

if(j>i)

{

b[i][j]=b[i][j-1]+a[j];

for(k=i-1;k<j;k++)

{

if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j])

b[i][j]=b[i-1][k]+a[j];

}

}

else

{

b[i][j]=b[i-1][j-1]+a[j];

}

}

sum=0;

for(j=m;j<=n;j++)

if(sum<b[m][j])

sum=b[m][j];

delete b;

return sum;

}

//教科书上又进行了代码优化，如下

int MaxSum(int m,int n,int *a)

{

int i,max,j,sum;

if(n<m||m<1)

return 0;

int *b=new int[n+1];

int *c=new int[n+1];

b[0]=0;

c[0]=0;

for(i=1;i<=m;i++)

{

b[i]=b[i-1]+a[i];

c[i-1]=b[i];

max=b[i];

for(j=i+1;j<=i+n-m;j++)

{

b[j]=b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j];

c[j-1]=max;

if(max<b[j])

max=b[j];

}

c[i+n-m]=max;

}

sum=0;

for(j=m;j<=n;j++)

if(sum<b[j])

sum=b[j];

return sum;

}

int main()

{

int n,m;

int a[100],i;

while(scanf("%d %d",&m,&n)!=EOF)

{

for(i=1;i<=n;i++)

scanf("%d",&a[i]);

printf("%d\n",MaxSum(m,n,a));

}

return 0;

}