多校第6场 HDU 3893&&JLU Drawing Pictures（数位DP变形，矩阵连乘）

题目的要求是用1-6六种颜色排成一列

而且必须对称。相邻不同色。不出现123456

可以肯定的是n偶数的时候必然无解，

因为最中心两个无法满足相邻不同色的要求

对于n奇数的情况因为是对称考虑前n/2+1的部分

这部分必然满足相邻不同色，不出现123456

尤其要注意的是不能出现654321

同时满足这些条件的排列对称过去也必然满足题目条件

这很显然可以用DP来解。

令D[i,x]表示长度为i以x结尾的方案数

其中x=1,2,3,4,5,6,12,123,1234,12345,65,654,6543,65432,

则有如下递推式

D[i,x]=sum(D[i-1,y]) x=2...5 y=1...6,y!=x

D[i,1]=D[i-1,2]+...+D[i-1,6]-D[i-1,65432]

D[i,6]=D[i-1,1]+...+D[i-1,5]-D[i-1,12345]

D[i,12]=D[i-1,1]

D[i,123]=D[i-1,12]

D[i,1234]=D[i-1,123]

D[i,12345]=D[i-1,1234]

D[i,65]=D[i-1,6]

D[i,654]=D[i-1,65]

D[i,6543]=D[i-1,654]

D[i,65432]=D[i-1,6543]

这样可以递推求解了。但是巨大的n使得简单的递推必然超时

考虑到这是线性递推式我们可以使用矩阵乘法求解

也就是说把DP的转移方程写成矩阵的形式，然后利用矩阵的快速幂计算

这样算法的复杂度为(14^3*logn)

最后要注意，因为矩阵中有负数，正常来讲最后答案一定是正的，但是在取模时正的数可能变成比负的小的数，会出现负解，所以要在最后加个模数。

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int maxn=14;
const long long mod=112233;
struct Matrix{
long long mat[maxn][maxn];
}A,B,E,K;

void debug (const Matrix &a)
{
for (int i=0 ; i<maxn ; ++i)
for (int j=0 ; j<maxn ; ++j)
printf("%lld%s",a.mat[i][j],j==13?"\n":"  ");
}

Matrix operator * (const Matrix & m1,const Matrix & m2)
{
Matrix res;
for(int i=0;i<maxn;i++)
for(int j=0;j<maxn;j++)
{
res.mat[i][j]=0;
for(int k=0;k<maxn;k++)
{
res.mat[i][j]+=m1.mat[i][k]*m2.mat[k][j];
}
res.mat[i][j]%=mod;
}
//debug(res);
//puts("");
return res;
}

void init()
{
memset (A.mat , 0 , sizeof(A.mat));
memset (E.mat , 0 , sizeof(E.mat));
for (int i=0 ; i<6 ; ++i)
for (int j=0 ; j<6 ; ++j)
{
if(i!=j)A.mat[i][j]=1;
}
A.mat[0][13]=-1;
A.mat[5][9]=-1;
A.mat[6][0]=1;
A.mat[7][6]=1;
A.mat[8][7]=1;
A.mat[9][8]=1;
A.mat[10][5]=1;
A.mat[11][10]=1;
A.mat[12][11]=1;
A.mat[13][12]=1;
for (int i=0 ; i<maxn ; ++i)
E.mat[i][i]=1;
}

int main ()
{
init ();
int n;
//freopen ("input.txt","r",stdin);
//freopen ("output.txt","w",stdout);
while (~scanf("%d",&n))
{
if(!(n&1))
{
printf("0\n");
continue;
}
n=(n-1)>>1;

/*debug(A);
puts("");
debug(E);*/
//printf("%d\n",n);
for (B=A,K=E; n ; n>>=1 , B=B*B)if(n&1)K=B*K;
debug(K);
int ans=0;
for (int i=0 ; i<6 ; ++i)
for (int j=0 ; j<6 ; ++j)
ans=(ans+K.mat[i][j])%mod;
printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}
return 0;
}