zoj2136 经典动态规划 求最长上升子序列

Longest Ordered Subsequence
题意：求一个数列的最长上升子序列。
输入：包括多组数据。每个数据包括两行，第一行整数N(1 <= N <= 1000)表示数列长度。第二行是N个0--10000之间的整数。
输出：每个数据输出一个整数，表示最长上升子序列的长度。

注意输入每组数据之间有空行。输出也一样。

Sample Input
1

 

7
1 7 3 5 9 4 8

 

Sample Output
4

题解：最简单的O（n^2）的算法是f[i]=max{f[j]+1}  ( j<i  ,  a[j]<a[i] )

代码如下

program z2136;
var t,n,i:integer;
a,f:array[1..1001] of integer;

procedure init;
var i:integer;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
read(a[i]);
f[i]:=1;
end;
end;

procedure dp;
var i,j,maxx:integer;
begin
for i:=2 to n do
begin
maxx:=-maxint;
for j:=1 to i-1 do
if (f[j]+1>maxx)and(a[j]<a[i])
then maxx:=f[j]+1;
if maxx<>-maxint then f[i]:=maxx;
end;
end;

procedure print;
var i,maxL:integer;
begin
maxL:=-maxint;
for i:=1 to n do
if maxL<f[i] then maxL:=f[i];
writeln(maxL);
end;

begin
readln(t);
readln;
for i:=1 to t do
begin
init;
dp;
print;
if i<>t then
begin
writeln;
readln
end;
end;
end.

 

下面我们来看O(nlogn)的算法。

我看到一个很好理解的文章：http://blog.sina.com.cn/s/blog_575e6b9d010007cp.html

【解题思路】
一道典型的DP（动态规划）题。可以从两个方向着手，即：从左往右和从右往左。由于从右往左比较符合一般思想，故采用后者做算法示例。

首先我们设定一个flag[]来保存每种长度的上升串中的第一个元素值。比如上升串是2 5 8，那么在flag[3]这个位置应该存储2，即flag[i]表示i长度的上升串的首元素（该元素在上升串中值最小，且如果要增长这个串必须满足：新加入元素<flag[i]）

对于一个原始串：1 7 3 5 9 4 8 来说，我们可以从右往左看（<-）。
1）首先遍历8，由于自身就是个上升串，故flag[1]=8。

2）其次映入眼帘的是4，这是4小于flag[1]＝8，可以组成更长的上升串，故flag[2]＝4，但此时我们不能取消掉flag[1]中的值8，比如在下列串中：5 6 7 4 8，后进入的7，明显可以组成比4－8更有“潜力”继续增长的，事实也证明，5 6 7 8比4 8更“长”，所以flag[1]=8我们将继续保留以备不时之需。

3）接下来读入的是9，它比任何一个flag[i]都大，其实我们不难发现flag[1]>flag[2]>flag[3]……flag
，公理上我就不证明了，因为flag[i+1]总是在flag[i]的基础上添加一个比flag[i]小的数得到的，所以上面的公式十分自然，因此我们只要比较出9>flag[1]，就不必再比较后面了。这时，我们只需更新flag[1]=8为flag[i]＝9，因为9比8更具备增长的潜力，比如前面还有个8，这是8－9就比8长（因为不能有8－8）。

4）再下来是5，我们发现flag[1]=9>5>flag[2]＝4，在这种情况下，5－9相比4－8来说更具备增长潜力（因为5>4)，所以flag[2]＝4被更新为flag[2]＝5。

5）碰到3的时候，因为3小于任何一个flag[i]（除去初始化为0的那些flag[i]），扫描到flag[2]=5>3，且flag[3]＝0时，我们将flag[3]赋值为3，这步与2）加入4的操作类似。

……………………
最后就得出了一个flag数组，其中flag[1]=9，flag[2]＝7，flag[3]＝3，flag[4]＝1（其余flag[5]……flag
都＝0，因为初始化为0）。其实，我们可以设置个max变量，在每次上升串增长的时候，比较新上升串是否>max，如果成立，则max=新增长的上升串的长度。

由此我们可以得出该从右向左扫描算法的一般表达式：
i）如果max＝0（初始状态，表示扫描右边第一个元素），则flag[1]=in（in表示此时正扫描到的元素），max++；

ii）如果in>flag[1]；则flag[i]＝in；

iii)如果flag[i]>in>flag[i+1]，且max不等于1时（也就是大于1），分两种情况：（1）flag[i+1]不为0时，即前面的例子中的第四步，flag[i+1]＝in；（2）flag[i+1]=0时，也就是新扫描到的in小于每一个已经扫描过的元素，则flag[i+1]＝in的同时，max还应该加1，也就是上例中的第二步和第五步。

最后还是要重申一点，如果在循环判断的过程中，出现flag[i]=in的情况下，直接放弃这次操作，不加处理。否则像1 2 2 3 3 4 4 这样的输出结果会成为7，而不是正确结果4。

代码正在实现中。。待续