有趣的算法世界---算法之根（1）

欢迎您又来到有趣的算法世界。
上次我们开始聊到了她---美妙的算法，并给出了一个定义。虽然有些争议存在，但您还不至于要辞退导游是吗？哈哈，那就好，我们继续我们的算法之旅。
而其实真正的景色，从现在才开始！如果把她（算法）比喻为一棵大树，那么我现在可不想把您的目光引向那繁茂的枝叶，引向那繁花似锦、姹紫嫣红处……哦不不不，咱们把目光的触角伸向嶙嶙的根部吧，这里是美出生的地方。

一百年前，1900年在巴黎召开的国际数学家会议上，Hilbert发表题为“数学问题”的著名演说，其主要部分讲了23个数学问题，被统一称为Hilbert问题。其中，第10个问题是关于算法的。
问题是这样的：

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？或者，设计一个算法来测试多项式是否有整数解。

有意思的是，当时并没有算法的概念，所以他没有使用“算法”这个术语，而用了这样一个短语：“通过有限多次运算就可以决定的过程”。[注释1]
这个演讲意义重大，它揭开了20世纪数学发展的序幕。而尤其是这第10个问题，可谓与计算机息息相关，虽然后来被证明是不可解的，但是它的许多副产品推动了计算机科学的发展，并深刻的揭示了算法的根源。

毫无疑问，我们可以把数学看作她扎根的土壤。事实上，在古老的数学中，早已出现了算法的影子，甚至可以说是很好的算法。比如欧几里德算法，即在欧几里德的《几何原本》(Euclid's Elements ,第VII卷，命题i和ii)中详细阐述的求两个数的最大公约数的过程(即辗转相除法)，就是这样的典型。
以现在的方式，我们可以叙述欧几里德算法E如下：
E=“对输入的自然数x，y：
1） 重复下面的操作，直到y=0。
2） 赋值x←x mod y。
3） 交换x和y的值。
4） 输出x。“

在近现代数学中，算法可以说是万花丛中的亮点，常常可以见到她美丽的身影；尤其是在计算机数学中，寻找算法可以说是我们面对的核心问题之一。
看个例子，我上次最后留下的问题“国王的城堡“，作简单分析，就容易知道它是个图论问题，糅合了k-连通图与最优化问题的知识。当然，问题是比较难的，我们加以简化，就会明白。比如可以认为图G的阶为n，我们欲在G的基础上构造k-连通图，现假设所有的边的费用消耗（即修建道路的费用）是个常数，与边的权（道路的长度）无关，若使费用消耗最少，则我们可以使G的边尽可能少，但在知道n和k的情况下，求边数最少的k-连通图G是个难题。

上面说道Hilbert的演讲，但那个时代并没有算法的概念。Hilbert第10个问题似乎有个假设，就是他认为这样的算法是存在的，人们的任务就是找到“她“。但遗憾的是这个问题没有算法解。可是在当时人们无论如何是也不能发现这一点的。只有直观的概念，或许可以写出几个有效的算法，但若没有建立深厚的根基，您不可能证明某个问题没有算法解。

这个根基的建立，在1936年实现了。丘奇和图灵发表论文，从数学的角度定义了算法。我们主要介绍的，就是那时的成就之一，计算机的基本数学模型，图灵机。这其中，可以先提出的是，他们把算法的非形式概念和精确定义之间的联系，第一次明确化，即丘奇-图灵论题：

算法的直觉概念 等于 图灵机算法

在介绍图灵机之前，我们做些准备工作。

历史的发展，总很有趣味性。以数学来看，现在看来非常优雅的思想，在诞生时常被看作怪物，被拒之于千里之外。抽象代数最初的发展，是从群的概念开始的，但群的概念从提出到埋没到再被重新认识，经历了一个漫长的过程。却不说它了，我们就看点抽象代数的知识；只要我们不冷落我们的“算法“，我就为今天的时代感到高兴。

集合的概念，大家都有的，比如我们小学就接触的自然数集N。说到运算，大家也有个直觉概念，比如加法运算“+“，在N上可以进行：
1+1=2 ， 1+2=3 ，2+3=5 ，……
但老实说，比起小学就发现等差数列求和规律的高斯来，惭愧的是我在高中学集合初步的时候，仍然没有意识到，集合可以和运算结合到一起，而运算的本质，就可以从另外一个角度来揭示，而不是我们通过一遍遍强调而得到的类于“先验“般的概念：运算是个数学里的动词，1+1就等于2。（您说我是不是要大器晚成呀，哈哈，玩笑玩笑，现在我能做好的导游就很满足了：）

是的，把集合与运算结合到一起，结果出现了一个新的事物：<N,+> 。加法运算“+”其实就是集合上元素的一种映射：1和2都属于N，1+1则映射为2。毫无疑问在这个意义下，我们的“+”运算在N上是封闭的，即任意两个自然数，通过“+”运算映射的结果仍然在N内。当然，您也可以定义一个运算比如“△”，其中1△1=100 ？没问题，只不过它的性质有待您来研究。
设A为一集合，“+”为A上定义的任意运算，如果“+”在A上封闭，则 <A,+> 就称为一个代数结构。一般的，“+”可以换为一个运算的集合，且保证其中每一个运算都是在A上封闭的。
群就是一个非常重要的代数结构。但我们不能再说抽象代数的知识了，如果您感兴趣，可以去查阅有关资料，数学书很好看，而且比计算机书便宜的多：）。

宽泛的讲，图灵机可以说是一个复杂的代数结构，它又是一个通用的计算机模型，能做实际计算机可以做的所有事情。当然，图灵机也有不能解决的问题，但事实上这些问题已经超出了计算机的能力范围了；我们现在基本上是这样认为的。

看看时间，哦不早了，那么我们下次再接着这次旅程，观察美丽的“算法”她的根源。感谢您对她的关注。谢谢。

[注释1] 这里从数学家的直觉看来，算法的有限性可以得到支持。事实上，有穷性是很多书上强调的，而且各有微妙之处。但等下次文章写完后，我将给大家一个答复，为什么在《什么是算法》里我曾提到算法无穷执行的提法。

本帖的题目：
有个富人，住在私人别墅中，他需要他的窗户有这样的功能：
（1）若为黑夜，自动关闭；
（2）若为白天，如果天气允许，自动打开；
（3）如果在开着等情况下，天气变化而不允许打开，则自动关闭。
毫无疑问这需要一个叫单片机的东西和若干电子产品来完成控制，可是如果称解决问题的办法为算法的话，那么您能写出这个算法序列吗？