有趣的算法世界---附录(1)

有趣的算法世界---附录(1)

看了许多的网友评论;谢谢大家,使我获益菲浅.在大家的帮助下得到成长,真是件快乐的事.但因为前已声明,所以有些问题不敢不交代.另外,对于网友中谈到的比较好的问题,我也谈谈自己的看法.

一 关于算法的有穷性
这个问题是无法避免的.我有责任给大家说明我当初的想法.
首先,是在上学期听康老师(康立山老师,武大教授,兼聘地大计科系主任)讲演化计算时的一句反问引发的思考,算法是否可以无穷执行.当然,在这之前,我所受的教育就是,算法的性质其一就是有穷性.大二数据结构老师特意讲算法与程序的区别(记得那时听课是点了头的J),我想,本科教育就截止于此.
既然喜欢的老师有这一句反问,我想追查下去.为什么可以,或者,为什么不可以?翻了许多书,发现各书是各有差别的.我们选择有代表的两家.
一是清华殷人昆老师的数据结构(c++描述)教材.他的算法定义有五个特性:
(1) 输入.必须有0或多个输入.
(2) 输出.一个或多个输出.
(3) 确定性.每一步都应确定地,无歧义地定义.
(4) 有穷性.无论在什么情况下都应在执行有穷步后结束.
(5) 有效性.
我是简短的转述.老实说,不管殷老师数据结构如何,这个算法的定义给我们本科生实在是很蹩脚.这个确定性本身就让人难于理解(算法的每一步什么叫确定地定义?你难不成反过来说满足确定性?).而有穷性的定义,是机器实际执行有穷步,还是算法表达语言的有穷步?
另外,他认为操作系统不是算法,原因是由于不符性质(4).

另一教材是电子工业出版社Clifford A. Shaffer 著,张铭等译的<<数据结构与算法分析>>,里面关于算法的性质与”有穷性”相关的有:
(2) 具体步骤.每一步必须在有限的时间内执行完毕.
(4)
(4) (4) 有限性.一种算法必须由有限步骤组成,否则,”我们就不可能将它写出来,也不可能将它作为计算机程序来实现”.
(6) (6) 可终止性. 算法必须可以终止,即不能进入死循环.

一个概念的定义,我觉得有两点因素,一是符合直觉观念,二是方便研究使用.有人说也有个历史问题,事实上概念不应该局限于历史,如果新情况允许改,就可以突破.
比较上面的两种定义,我们不难发现后者的细致.事实上,我在<<什么是算法>>里的算法定义,源引于康立山老师的<<智能计算及其应用 讲义>>中的定义:
算法,即一步一步求解问题的方法，它有如下的特征：
(1)必为一有限的文本表示;
(2)每一步必有可能在有限的时间内机械的完成。

我本人喜欢这个定义.仍回到有穷性的问题上,再看看网友的讨论,主要可分为:
happycock, javaboy的: 算法与程序不同.
Violetblue 的:无穷执行将无用.
至于Dream_soft的,的确是高论,让我最有收获,后面再说.首先一点,算法应该是用来解决问题的,大家应该没有异议.当然手段是计算.另外,我们大家都承认的是,算法的每一步肯定应该在有限时间里执行完成.即使从直觉观念来出发,在其中的一步中陷入无穷执行的话,那么我们就会怀疑这个所谓的”算法”要解决什么问题了.这个”有穷性”,可以称为微观的.我们的争论点是,从宏观整体上讲,算法可以无穷执行吗?
张译的教材中说”有穷性”,是描述的”有穷步”,否则表达就成问题.这有点元语言与形式语言的味道.算法的描述步骤嘛,而不是算法本身的执行.这个观点我也是同意的,我喜欢的那个定义说算法”必为一有限文本的表示”,也是这个意思.但其中没有说明算法不可以无穷时间的执行.
无穷执行就无用吗?我的直觉中没有这个概念.在说Hilbert问题时,曾经说数学家的直觉观念中算法是必须在有穷时间结束的,我觉得那是因为他要解决的问题(不定方程是否有整数解),是要么有解,要么无解的,当然我们希望尽快有个答案的.但实际问题中,许多不是靠”解”来解决问题的,如那个自动窗的问题,那是一种活动的控制,我们不需要解,而是就这样一直做下去的控制;康老师说钟表的问题,我想也是这个意思.
当然,张译的教材中又补充一条,(6)可终止性.可他似乎说的是避免死循环,我想死循环也应该是以是否有用为标准的,哦,太功利了?嘻嘻,那算法应该加个停机条件是吧,但加停机条件的未必不可以无穷执行.

还是说网友Dream_soft的观点,源引如下:
“第一，算法应该是有穷，我这样想是因为算法应该是针对可计算的问题的。大家都知道，可计算性的一个判别标准就是是否停机，如果不能停机，也就是说算法是永不中止的话，那就属于不可计算的问题了。由于图灵机停机问题是不可计算的，也就是说我们没有一个通用的算法来判断一个图灵机对某个输入是否停机。如果说算法可以是无限的，那么就可以说对图灵机停机问题存在算法，也就是说停机问题是可解的了，这和数学上的结论不合。”
很显然这个是令我最头痛的一个J.首先这个理由是最具本质的,有穷性源于问题的可判定性,又即可计算性的问题.我们知道,图灵机又可以分为识别器和判定器.前者可以解决所有可图灵识别的问题,但可图灵识别未必可判定.比如停机问题就是典型的不可判定问题.
我们再举一个不可判定的问题, Hilbert问题中的那个有限时间内判断不定方程是否有整数解的问题.已证明它是不可判定的.但诸如下面的图灵机M(带子两边无限长,初始值是所有的整数,从左到右按数轴的顺序)是一种解法:
M=”对于给定的不定方程,做
(1) 从整数0开始,验证0是否是不定方程的解,如果是,转(4);否则
(2) 向右移动一个位置,假设到n,验证n是否是不定方程的解,如果是,转(4);否则移到-n验证之,如果是不定方程的解,转(4);否则
(3) 移到n,转(2);
(4) 输出结果,停机.“
显然对于有整数解的不定方程,这个图灵机一定可以找到一个解而停机,但如方程本身无整数解,则此图灵机是不停机的.

我们能叫它算法吗?这个问题我也想了很久.当初我的想法是,这个图灵机,是否停机与问题是相关的,有的方程是停机的,有的不是.加之前面的原因,没有理由一定定义算法不可无穷执行.当然,从可判定性出发,定义算法解就是任意情况下可在有穷时间内得出问题解的解法,也是可以接受的.但有很大一部分解法,包括那些问题本身重点不在于解的,都被排除之外了.
最近在看数学分析,有一处具有可比性.在讲数列的极限的时候,先是收敛到一个有穷值的,就称数列的极限为该值,该数列为收敛数列.但发散数列有极限吗?后面讲到一类特殊的发散数列时,补充定义了∞(无穷大),又定义了极限为∞的数列.这样实数集R也要扩充了,把-∞和+∞加入了.
发散数列有极限吗?能用直觉观念否定吗?能用无用论否定吗?事实上都不能否定,这样的定义反而有利于问题的讨论;只是,在需要时,我们可以明示说明,是有穷极限.
所以我喜欢康老师那个定义,干干净净,具有包容性,但又不遗漏本质.在研究可计算性和计算复杂性的时候,我们强调好的算法要算的尽可能快,不要不停机.但广义的算法,就让它是成为解决问题的方法吧.只要符合我们<<什么是算法>>里的定义.

这就是我当初的观点.关于那个操作系统不是算法,我一直以为是为了防止“泛算法论“.算法虽然是计算机科学的本质问题之一,但如操作系统,它的处理机调度有算法,内存的管理有算法,但整体的堆积就不要是算法了吧,它超出了我们算法的定义,当作算法来研究也的确太不方便了.
需要说明的是这是个人观点,可供您思考但不要您以此为准.您如果有好的异议和证据,也可以通过信箱联系我:
percylee@eyou.com
or
non-leaf@sohu.com