力扣 - 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

题目

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

思路1

• 因为是要求最大价值，而且只能移动下方或者右方，因此，每个位置的最大值就是

  本身的值

  加上

  上边 / 左边 中的最大值

  ，然后每次遍历都可以复用上一次的值。因此我们可以得到状态转移方程： $ dp[i][j]=\begin{matrix} max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) +grid[i][j] \end{matrix} $

grid

代码

class Solution {
public int maxValue(int[][]grid) {
int row =grid.length;
int col =grid[0].length;
// 创建dp数组，让 row 和 col 都多创建一行就可以避免判断边界值问题
int dp[][] = new int[row+1][col+1];

for (int i = 1; i <= row; i++) {
for (int j = 1; j <= col; j++) {
// 这里的grid 中 i-1 和 j-1 是因为我们是从 1 开始的，所以要减去 1 才是原始正确的位置
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) +grid[i-1][j-1];
}
}

// 最后直接返回数组右下角值即可
return dp[row][col];
}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(MN)\)，
• 空间复杂度：\(O(MN)\)，创建 dp 数组所花费的空间

思路2

• 然后我们可以优化一下，因为只能左走或者右走，因此第一行和第一列是固定的一条路，我们可以事先初始化计算一下第一行和第一列，到时就不用计算了。因此直接在原数组上直接进行就可以了

代码

class Solution {
public int maxValue(int[][]grid) {
int row =grid.length;
int col =grid[0].length;

// 先初始化边界
for (int i = 1; i < row; i++) {
grid[i][0] +=grid[i-1][0];
}
for (int i = 1; i < col; i++) {
grid[0][i] +=grid[0][i-1];
}

// 遍历
for (int i = 1; i < row; i++) {
for (int j = 1; j < col; j++) {
// 选择左边或者上边
grid[i][j] += Math.max(grid[i-1][j],grid[i][j-1]);
}
}

// 最后直接返回数组右下角值即可
returngrid[row-1][col-1];
}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(MN)\)，
• 空间复杂度：\(O(1)\)，无需创建 dp 数组