离散信号与系统的时域与z域分析

• 离散系统的单位脉冲响应
• 离散系统的零状态响应
• 离散系统的z变换
• 采用变换域分析法求解系统的零状态响应
• 零极点图与稳定性分析

离散系统的单位脉冲响应

已知某离散系统的差分方程为y(k)−y(k−1)+0.9y(k−3)=f(k)y(k)-y(k-1)+0.9y(k-3)=f(k)y(k)−y(k−1)+0.9y(k−3)=f(k)，试作出：

(1) 以默认方式绘出系统h(k)h(k)h(k)的时域波形；

(2) 绘出系统在0～60取样点范围内h(k)h(k)h(k)的时域波形；

(3) 绘出系统在-10～40离散时间范围内h(k)h(k)h(k)的时域波形；

(4) 求出系统在-5～10离散时间范围内h(k)h(k)h(k)的数值解。

a = [1, -1, 0, 0.9];
b = 1;
subplot(3,1,1);
impz(b,a);
subplot(3,1,2);
impz(b,a,60);
subplot(3,1,3);
impz(b,a,-10:40);
y = impz(b,a,-5:10);
display(y);

实验结果：

离散系统的零状态响应

已知某系统的系统函数如下：

y(k+2)+0.4y(k+1)−0.12y(k)=f(k+2)+2f(k+1)y(k+2)+0.4y(k+1)-0.12y(k)=f(k+2)+2f(k+1)y(k+2)+0.4y(k+1)−0.12y(k)=f(k+2)+2f(k+1)

计算在输入信号为f(k)=u(k)f(k)=u(k)f(k)=u(k)时的系统零状态响应。

a = [1, 0.4, -0.12];
b = [1, 2];
N = 30;
f = ones(1,N);
k = 0:1:N-1;
y = filter(b,a,f);
stem(k,y);
xlabel('k');
title('系统零状态响应y(k)');

实验结果：

离散系统的z变换

求下列离散时间序列的z变换。

(1) f1(n)=u(n)f_1(n)=u(n)f1​(n)=u(n);

(2) f2(n)=anu(n)f_2(n)=a^n u(n)f2​(n)=anu(n);

(3) f3(n)=0.5n[u(n)−u(n−5)]f_3(n)=0.5n[u(n)-u(n-5)]f3​(n)=0.5n[u(n)−u(n−5)];

(4) f4(n)=ancos⁡(nπ/2)u(n)f_4(n)= a^n \cos(n\pi/2)u(n)f4​(n)=ancos(nπ/2)u(n).

syms n;
f1 = sym('1');
F1 = ztrans(f1);
display(f1);
display(F1);
syms a;
f2 = a^n;
F2 = ztrans(f2);
display(f2);
display(F2);
f3 = 0.5*n*(heaviside(n)-heaviside(n-5));
F3 = ztrans(f3);
display(f3);
display(F3);
f4 = a^n*cos(n*pi/2)*heaviside(n);
F4 = ztrans(f4);
display(f4);
display(F4);

实验结果：

采用变换域分析法求解系统的零状态响应

(1) 已知线性离散时间系统的

激励函数为：f(n)=(−1)nu(n)f(n)=(-1)^nu(n)f(n)=(−1)nu(n)

单位脉冲响应：h(n)=[13(−1)n+233n]u(n)h(n)=[ \frac 1 3 (-1)^n+ \frac 2 3 3^n]u(n)h(n)=[31​(−1)n+32​3n]u(n)

(2) 已知线性离散时间系统的

激励函数为：f(n)=u(n)f(n)= u(n)f(n)=u(n)

系统传递函数为：H(z)=z(7z−2)(z−0.2)(z−0.5)H(z)=\frac{z(7z-2)}{(z-0.2)(z-0.5)}H(z)=(z−0.2)(z−0.5)z(7z−2)​

syms n z;
f = (-1)^n;
h = (-1)^n/3+2*3^n/3;
F = ztrans(f);
H = ztrans(h);
Y = H*F;
y = iztrans(Y);
display(y);
H1 = z*(7*z-2)/((z-0.2)*(z-0.5));
f1 = 1^n;
F1 = ztrans(f1);
Y1 = F1*H1;
y1 = iztrans(Y1);
display(y1);

实验结果：

零极点图与稳定性分析

已知某离散时间系统的系统函数如下：

H(z)=z2z2+2z+1H(z)=\frac{z^2}{z2+\sqrt2 z+1}H(z)=z2+2​z+1z2​

(1) 求系统的单位序列响应h(n)h(n)h(n)，并绘出h(n)h(n)h(n)的时域波形。

(2) 计算系统的零、极点，并绘出系统的零、极点分布图，判断系统是否稳定。

den = [1 2^(1/2) 1];
num = [1 0 0];
subplot(2,1,1);
impz(num,den,-10:30);
subplot(2,1,2);
p = roots(den);
z = roots(num);
zplane(z,p);
title('零极点分布图');

实验结果：