信号与系统(Python) 学习笔记 (8.1) 离散系统z域分析 -- 系统函数 H(z)

• 【总目录】 (1) 简介 Intro
• (2) 傅里叶 Fourier 常用函数的傅里叶变换汇总

8.2. 系统函数 H(z)

8.2.1. 系统函数 H(z) 定义

• 定义：

F(z)→H(z)x=0→Yf(z)F(z) \to \boxed{\underset{x=0}{H(z)}} \to Y_f(z)F(z)→x=0H(z)​​→Yf​(z)

H(z)=Yzs(z)F(z)H(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{F(z)}H(z)=F(z)Yzs​(z)​

• 物理含义:

h(k)↔H(z)=∑k=0∞h(k)z−kh(k) \leftrightarrow H(z) = \sum^{\infty}_{k=0} h(k) z^{-k}h(k)↔H(z)=k=0∑∞​h(k)z−k
H(z)=Z[h(k)]H(z) = \mathcal{Z}[h(k)]H(z)=Z[h(k)]

• 计算方法:

  H(z)=Yzs(z)F(z)H(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{F(z)}H(z)=F(z)Yzs​(z)​
  1. H(z)=Z[h(k)]H(z) = \mathcal{Z}[h(k)]H(z)=Z[h(k)]
  2. 由系统差分方程求 H(z)H(z)H(z)

• 应用:

  求 yzs(k)=Z[Yzs(z)],  Yzs(z)=H(z)F(z)y_{zs}(k) = \mathcal{Z}[Y_{zs}(z)],\; Y_{zs}(z)= H(z)F(z)yzs​(k)=Z[Yzs​(z)],Yzs​(z)=H(z)F(z) ;
  1. 求 h(z)=Z−1[H(z)]h(z)= \mathcal{Z}^{-1}[H(z)]h(z)=Z−1[H(z)] ;
  2. 求 f(k)=Z−1[F(z)],  F(z)=Yzs(z)H(z)f(k) = \mathcal{Z}^{-1}[F(z)], \; F(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{H(z)}f(k)=Z−1[F(z)],F(z)=H(z)Yzs​(z)​ ;
  3. 表示系统特性：频率特性、稳定性等。

• 分解:

f(k)=12πj∮cF(z)zzkdz,  −∞<k<∞f({\color{red}k}) = \frac{1}{2\pi j} \oint_c \frac{F(z)}{z} z^{ {\color{red}k}} dz, \; -\infty < k < \inftyf(k)=2πj1​∮c​zF(z)​zkdz,−∞<k<∞

• 基本信号 zkz^kzk :

z0k→h(k)→z0k⋅H(z0)z_0^k \to \boxed{h(k)} \to z_0^k \cdot H(z_0)z0k​→h(k)​→z0k​⋅H(z0​)

f(k)→h(k)→yf(k)f(k) \to \boxed{h(k)} \to y_f(k)f(k)→h(k)​→yf​(k)

• 任意信号:

12πjF(z)z⋅zk→12πjF(z)z⋅zkH(z)\frac{1}{2\pi j} \frac{F(z)}{z}\cdot z^k \to \frac{1}{2\pi j} \frac{F(z)}{z} \cdot z^k H(z)2πj1​zF(z)​⋅zk→2πj1​zF(z)​⋅zkH(z)
∮c12πjF(z)z⋅zkdz→∮c12πjF(z)z⋅zkH(z)dz\oint_c\frac{1}{2\pi j} \frac{F(z)}{z}\cdot z^k dz \to \oint_c\frac{1}{2\pi j} \frac{F(z)}{z} \cdot z^k H(z) dz∮c​2πj1​zF(z)​⋅zkdz→∮c​2πj1​zF(z)​⋅zkH(z)dz
∮c12πjF(z)z⋅zkdz→∮c12πjF(z)⋅H(z)z⋅zkdz\oint_c\frac{1}{2\pi j} \frac{F(z)}{z}\cdot z^k dz \to \oint_c\frac{1}{2\pi j} \frac{ {\color{blue}F(z)\cdot H(z)} }{z} \cdot z^k dz∮c​2πj1​zF(z)​⋅zkdz→∮c​2πj1​zF(z)⋅H(z)​⋅zkdz
Yf(z)=F(z)⋅H(z)Y_f(z) = F(z) \cdot H(z)Yf​(z)=F(z)⋅H(z)

• 回顾 转换成时域
  f(k)⋆h(k)↔F(z)⋅H(z)f(k)\star h(k) \leftrightarrow F(z) \cdot H(z)f(k)⋆h(k)↔F(z)⋅H(z)

8.2.2. 系统特性

离散系统的零点与极点

• 类比

H(z)=B(z)A(z)=bmzm+bm−1zm−1+⋯+b1z+b0zn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0=bm(z−ζ1)(z−ζ2)⋯(z−ζm)(z−P1)(z−P2)⋯(z−Pn)=bm∏j=1m(z−ζj)∏i=1n(z−Pi),  m≤n\begin{aligned}H(z) & = \displaystyle \frac{B(z)}{A(z)}\\ & = \displaystyle \frac{b_m z^m + b_{m-1}z^{m-1} + \cdots + b_1 z + b_0}{z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots +a_1z+a_0}\\ & = \frac{b_m(z-\zeta_1)(z-\zeta_2)\cdots(z-\zeta_m)}{(z-P_1)(z-P_2)\cdots(z-P_n)} \\ &= \frac{b_m \prod^{m}_{j=1}(z-\zeta_j)}{\prod^{n}_{i=1}(z-P_i)}, \; m\leq n \end{aligned}H(z)​=A(z)B(z)​=zn+an−1​zn−1+⋯+a1​z+a0​bm​zm+bm−1​zm−1+⋯+b1​z+b0​​=(z−P1​)(z−P2​)⋯(z−Pn​)bm​(z−ζ1​)(z−ζ2​)⋯(z−ζm​)​=∏i=1n​(z−Pi​)bm​∏j=1m​(z−ζj​)​,m≤n​

• H(z)H(z)H(z) 的零点:

ζi,  i=1,2,⋯ ,m\zeta_i, \; i =1,2,\cdots, mζi​,i=1,2,⋯,m

• H(z)H(z)H(z) 的极点:

Pi,  i=1,2,⋯ ,mP_i, \; i =1,2,\cdots, mPi​,i=1,2,⋯,m

• 零/极点的种类： 实数、
• 复数 (复数零、极点必共轭 )
• 一阶、二阶及二阶以上极点

零、极点与h(k)的关系

• 极点在单位圆内

  在实轴上:

  一阶极点:
  Azz−a↔Aak↓ε(k),  ∣a∣<1\frac{Az}{z-a}\leftrightarrow A {\color{blue}a^k\downarrow} \varepsilon(k),\; \lvert a \rvert <1z−aAz​↔Aak↓ε(k),∣a∣<1
  1. 二阶极点:
     Az(z−a)2↔Akak−1↓ε(k),  ∣a∣<1\frac{Az}{(z-a)^2}\leftrightarrow A{\color{blue}ka^{k-1}\downarrow} \varepsilon(k),\; \lvert a \rvert <1(z−a)2Az​↔Akak−1↓ε(k),∣a∣<1

• 不在实轴上:

  一阶极点:
  Azz−rejβ+A∗zz−re−jβ↔2∣A∣rk↓cos⁡(βk+θ)ε(k),  r<1\frac{Az}{z-r e^{j\beta}} + \frac{A^*z}{z-re^{-j\beta}}\leftrightarrow 2\lvert A \rvert {\color{blue}r^k\downarrow} \cos(\beta k + \theta) \varepsilon(k),\; r<1z−rejβAz​+z−re−jβA∗z​↔2∣A∣rk↓cos(βk+θ)ε(k),r<1
  1. 二阶极点:
     Az(z−rejβ)2+A∗z(z−re−jβ)2↔2∣A∣rk−1↓cos⁡(β(k−1)+θ)ε(k),  r<1\frac{Az}{(z-r e^{j\beta})^2} + \frac{A^*z}{(z-re^{-j\beta})^2}\leftrightarrow 2\lvert A \rvert {\color{blue}r^{k-1}\downarrow} \cos(\beta (k-1) + \theta) \varepsilon(k),\; r<1(z−rejβ)2Az​+(z−re−jβ)2A∗z​↔2∣A∣rk−1↓cos(β(k−1)+θ)ε(k),r<1

• 结论: 对应h(k)h(k)h(k)按指数规律衰减；

离散因果系统稳定性判定－－朱里准则（Jury stability criterion）
H(z)=B(z)A(z)=bmzm+bm−1zm−1+⋯+b1z+b0anzn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0\begin{aligned}H(z) = \displaystyle \frac{B(z)}{A(z)} = \displaystyle \frac{b_m z^m + b_{m-1}z^{m-1} + \cdots + b_1 z + b_0}{a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots +a_1z+a_0}\end{aligned}H(z)=A(z)B(z)​=an​zn+an−1​zn−1+⋯+a1​z+a0​bm​zm+bm−1​zm−1+⋯+b1​z+b0​​​

要判断 A(z)=0A(z)=0A(z)=0 的所有根的绝对值是否都小于 111 。

• 朱里准则指出: A(z)=0A(z)=0A(z)=0 的所有根都在单位圆内的充要条件是:

  A(1)>0A(1)>0A(1)>0
  1. (−1)nA(−1)>0(-1)^nA(-1)>0(−1)nA(−1)>0
  2. an>∣a0∣  cn−1>∣c0∣⋯r2>∣r0∣a_n>\lvert a_0\rvert \; c_{n-1}>\lvert c_0 \rvert \cdots r_2>\lvert r_0\rvertan​>∣a0​∣cn−1​>∣c0​∣⋯r2​>∣r0​∣
     对奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
• 特例: 对二阶系统:
  A(z)=a2z2+a1z+a0A(z) = a_2z^2 + a_1z + a_0A(z)=a2​z2+a1​z+a0​
  易得 A(1)>0,  A(−1),  a2>∣a0∣A(1)>0, \; A(-1),\; a_2>\vert a_0\vertA(1)>0,A(−1),a2​>∣a0​∣

8.2.4. 系统的方框图

8.2.5. 系统的流图

• 系统流图

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