时间复杂度怎么算详解
时间复杂度怎么算详解
我们假设计算机运行一行基础代码需要执行一次运算。
int aFunc(void) { printf("Hello, World!\n"); // 需要执行 1 次 return 0; // 需要执行 1 次 }
那么上面这个方法需要执行 2 次运算
int aFunc(int n) { for(int i = 0; i<n; i++) { // 需要执行 (n + 1) 次 printf("Hello, World!\n"); // 需要执行 n 次 } return 0; // 需要执行 1 次 }
这个方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次运算。
我们把 算法需要执行的运算次数 用 输入大小n 的函数 表示,即 T(n) 。
此时为了 估算算法需要的运行时间 和 简化算法分析,我们引入时间复杂度的概念。
定义:存在常数 c 和函数 f(N),使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N),表示为 T(n) = O(f(n)) 。
如图:
当 N >= 2 的时候,f(n) = n^2 总是大于 T(n) = n + 2 的,于是我们说 f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的,也说 f(n) 是 T(n) 的上界,可以表示为 T(n) = O(f(n))。
因为f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的,即T(n) = O(f(n)),所以我们可以用 f(n) 的增长速度来度量 T(n) 的增长速度,所以我们说这个算法的时间复杂度是 O(f(n))。
算法的时间复杂度,用来度量算法的运行时间,记作: T(n) = O(f(n))。它表示随着 输入大小n 的增大,算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。
显然如果 T(n) = n^2,那么 T(n) = O(n^2),T(n) = O(n^3),T(n) = O(n^4) 都是成立的,但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的,所以第一个是最好的选择,所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2) 。
具体步骤
⑴ 找出算法中的基本语句;
算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句,通常是最内层循环的循环体。
⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级;
只需保留f(n)中的最高次幂正确即可,可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。
⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。
将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。
举例
- 对于一个循环,假设循环体的时间复杂度为 O(n),循环次数为 m,则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。
void aFunc(int n) { for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n printf("Hello, World!\n"); // 循环体时间复杂度为 O(1) } }
此时时间复杂度为 O(n × 1),即 O(n)。
2.对于多个循环,假设循环体的时间复杂度为 O(n),各个循环的循环次数分别是a, b, c…,则这个循环的时间复杂度为O(n×a×b×c…)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。
void aFunc(int n) { for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n for(int j = 0; j < n; j++) { // 循环次数为 n printf("Hello, World!\n"); // 循环体时间复杂度为 O(1) } } }
此时时间复杂度为 O(n × n × 1),即 O(n^2)。
- 对于顺序执行的语句或者算法,总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。
void aFunc(int n) { // 第一部分时间复杂度为 O(n^2) for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { printf("Hello, World!\n"); } } // 第二部分时间复杂度为 O(n) for(int j = 0; j < n; j++) { printf("Hello, World!\n"); } } 此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n)),即 O(n^2)。
- 对于条件判断语句,总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。
void aFunc(int n) { if (n >= 0) { // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2) for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { printf("输入数据大于等于零\n"); } } } else { // 第二条路径时间复杂度为 O(n) for(int j = 0; j < n; j++) { printf("输入数据小于零\n"); } } }
此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n)),即 O(n^2)。
时间复杂度分析的基本策略是:从内向外分析,从最深层开始分析。如果遇到函数调用,要深入函数进行分析。
练习
1.
void aFunc(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = i; j < n; j++) { printf("Hello World\n"); } } }
当 i = 0 时,内循环执行 n 次运算,当 i = 1 时,内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时,内循环执行 1 次运算。
所以,执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。
根据上文说的 大O推导法 可以知道,此时时间复杂度为 O(n^2)。
void aFunc(int n) { for (int i = 2; i < n; i++) { i *= 2; printf("%i\n", i); } }
假设循环次数为 t,则循环条件满足 2^t < n。
可以得出,执行次数t = log(2)(n),即 T(n) = log(2)(n),可见时间复杂度为 O(log(2)(n)),即 O(log n)。
long aFunc(int n) { if (n <= 1) { return 1; } else { return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2); } }
显然运行次数,T(0) = T(1) = 1,同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1,这里的 1 是其中的加法算一次执行。
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列,通过归纳证明法可以证明,当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n,同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n),简化后为 O(2^n)。
时间复杂度分析的基本策略是:从内向外分析,从最深层开始分析。如果遇到函数调用,要深入函数进行分析。
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