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人工智能之数学基础----连续性和可导性

2020-02-08 02:11 731 查看

本章主要讲解函数的联系性，函数的联系性也是导数的必要条件，从而延伸讲解可导性
在一点处及在一个区间上联系
连续函数的零点定理、最值定理、介值定理
平均速度、瞬时速度
切线和导数
二阶导数和高阶导数

在一点上连续

如果 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ ，函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处连续

假设函数有一个点 $(a,f(a))$ 的附近是连续【左,右连续】的，这个函数的其它地方不连续没关系，只要在附近连续就可以，总结点上连续；一、点存在，必须有定义，二、附近必须是连续的（也就是左右都要连续）；下面是精确的描述

双侧极限 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ 存在(并且是有限的)；
函数在点 $x=a$ 处有定义，即 $f(a)$ 存在(并且是有限的)
以上两个量相等，即： $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

下面我们绘制图像来理解上面的公式

图一：虽然在点a有定义，但是左右不连续、左右极限值也不相等，所以不存在双侧极限；
图二：左右极限值存在且相等，但是在点a是空心，无定义的，也就是不连续的。
图三：双侧极限存在，函数在点 $x=a$ 出有定义，但是函数不等于极限值 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a)$
图四：双侧极限存在，在 $x=a$ 出有定义且连续，且 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a)$ ，所以在点 $x=a$ 连续

极限分为有限极限和无限极限，什么叫无限极限？例如： $\lim_{x-\infty }f(x)=2^{x}$ 该极限函数是无限极限，随着 $x\rightarrow \infty$ 函数值将会无限放大，要多大就有多大，没有一个固定的值。什么叫做有限函数呢 $\lim_{x-\infty }f(x)=\frac{1}{2^{x}}$ 该极限函数是有限极限，随着 $x\rightarrow \infty$ 函数值为0，因为 $2^{x}$ 越大，那么 $\frac{1}{2^{x}}$ 越小，也就是越接近0，有个固定的值0，所以为有限函数

在区间上连续

如果所示，函数在[a,b]区间是连续的，区间连续的性质

函数 $f$ 在(a,b)总的每一个点都是连续的
函数 $f$ 在点x=a处右连续，即： $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)$ 存在(且有限)，f(a)存在，并且这两个量相等 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)$
函数 $f$ 在点x=b处左连接，即： $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)$ 存在(且有限)，f(b)存在，并且这两个量相等 $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=f(b)$

连续函数的零点定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间[a,b]上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，那么在开区间(a,b)内至少有一点 $\xi$ 使 $f(\xi )=0$

应用： $f(\xi )=0$ ，关键在于找到两点 $f(a)$ 和 $f(b)$ 是异号，这种题目一般都不需要我们去证明函数的连续性，意思就是连续性是题目已知的，我们只要找到 $f(a)$ 和 $f(b)$ 是异号就可以。

连续函数的最值定理

最值定理：若 $f(x)$ 在[a,b]上连续，则 $f(x)$ 在[a,b]上必有最大值和最小值。

介值定理：设函数 $f(x)$ 在[a,b]上连续，M,m分别为函数在[a,b]上的最大值和最小值，那么对于介于m和M之间的任意一个数C，在闭区间[a,b]内至少有一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi )=C$

图一：x=c最大值，x=d最小值

图二：x=c最大值，x=a最小值

图三：x=b最大值，x=c=d最小值

图四：每个x都是最大值、最小值

证明三步曲：

先找出最值， $f(x)$ 在[a,b]存在M,m
说明： $m\leq C\leq M$
利用介值定理：存在 $\xi\in [a,b]$ ，使得 $f(\xi )=C$ 成立

【例一】若 $f(x)$ 在[a,b]上连续， $a<x_{1}<x_{2}<\cdot \cdot \cdot <x_{n}<b(n\geq 3)$

证明：在 $[x_{1},x_{n}]$ 上必有 $\xi$ ，使 $f(\xi )=\frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})}{n}$

$\because$ $f(x)$ 是连续区间，根据最值定理在[a,b]上必然存在最大值M和最小值m

$\because$ 任意函数 $m\leq f(x)\leq M$

$\therefore$ $n\times m\leq f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})\leq n\times M$ ；两边消掉n： $m\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})}{n}\leq M$

$\therefore$ 根据介值定理， $\exists \xi \in [x_{1},x_{n}]$ ；使得 $f(\xi )=\frac{frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})}}{n}$

平均速度、瞬时速度

发展微积分的最初灵感之一来自于试图去理解运动物体的速度，距离和时间的关系

平均速度=位移/时间

比如我们家里距离上班的地方是10公里，开车需要半个小时，那么我们开车平均速度为每小时20公里；即：(20公里/小时)，但是你是无法知道你在公司楼下时候的平均速度的，如果你想知道，你必须在公司楼下这10米，你开车花多长时间。如果这时候有要求知道你在楼下的电线杆旁边的速度，那可能是非常短的距离（可能只有不到1米）；如此类推，当距离非常非常短，那么这就是瞬时速度。

设 $f(u)$ 为在 $u$ 时刻的位置； $f(t)$ 为在 $t$ 时刻的位置；在 $u$ 到 $t$ 的平均速度为 $v_{t \mapsto u }$ ；公司 $v_{t \mapsto u }=\frac{f(u)-f(t)}{u-t}$

假如我们在不断的缩短 $u$ 和 $t$ ，也就是让 $u$ 无限的靠近 $t$ ；那么这就是极限 $\lim_{u\rightarrow t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t}$ ；如下图，瞬时的速率就是求直线的斜率

速率=斜率= $\lim_{u\rightarrow t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t}$

当我们的 $u$ 无限的靠近 $t$ 的时候(如下图)，令它们的差 $u$ - $t$ ；即： $h=u-t$ ；因为无限靠近，所以 $h$ 将会不断变小 $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

从上图可以看出当 $u$ 无限的靠近 $t$ 的时候，其实就是在求过曲线上某一点求切线的斜率，如左图

导数

若函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的领域有定义，且极限 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，并称该极限为函数 $f(x)$ 的导数，记作： $f'(x_{0})$

【例一】如果 $f(x)=x^{2}$ ，那么 $f'(x)$ 是什么？

直接套公式

解： $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{2}+h^{2}+2xh-x^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+2xh}{h}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}(h+2x)=2x$

当最后 $h\rightarrow 0$ 可以直接把h去掉

导数公式的理解与变换

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 这里的 $h$ 其实是一个变量，是一个无限靠近0的一个变量，我们可以换成其他符号表示，如： $\Delta x$ ；等价上面的表达式 $f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$