算法的时间复杂度和空间复杂度

文章目录

• 算法时间复杂度
• 推导大O阶方法
• 函数调用的时间复杂度分析
• 常见的时间复杂度
• 最坏情况与平均情况

算法时间复杂度

算法时间复杂度定义：
在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模 n 的函数，进而分析T（n）随 n 的变化情况并确定T（n） 的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T（n）=O（f（n））。它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f（n）的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f（n）是问题规模 n 的某个函数。
（执行次数==时间）

• 这样用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法称为大O记法。
• 一般情况下，随着输入规模 n 的增大，T（n）增长最慢的算法为最优算法。
• 三个求和算法的时间复杂度分别为O（1），O（n），O（n^2）。
  对应如下图：
  

推导大O阶方法

攻略：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
• 得到的最后结构就是大O阶

例：

• 常数阶
  
  这段代码的大O是 O（1）

• 线性阶：一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应的计算次数呈直线增长。
  
  上边这段代码，它的循环的时间复杂度为O（n），因为在循环体中的代码需要执行n次。

• 平方阶
  
  这段代码的时间复杂度为 O（n^2）

执行次数为：n+(n-1)+(n-2)+…+1 = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2
按照大O攻略，最终大O阶为O（n^2）

• 对数阶
  
  

函数调用的时间复杂度分析

举例：

这个时间复杂度为 O（n）

但是如果把 function 改为下边的

则算法复杂度为O（n^2）

则算法复杂度为O（n^2）

常见的时间复杂度

常见的时间复杂度排序:

最坏情况与平均情况

• 我们查找一个有 n 个随机数数组中的某个数字，最好的情况时第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O（1），但也有可能和这个数字就在最后一个位置，那么时间复杂度为O（n）。

• 平均运行时间是期望的运行时间。

• 最坏运行时间是一种保证。在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

算法空间复杂度

• 在写代码时，完全可以用空间来换取时间；
  
  这就是通过一笔空间上的开销来换取计算时间开销的小技巧。具体使用，看用在什么场合。

• 算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：
  S（n）= O（f（n）），其中，n为问题的规模，f（n）为语句关于n所占存储空间的函数。

• 通常，我们都是用 “时间复杂度” 来指运行时间的需求，用 “空间复杂度” 指空间需求。