DeepLearning tutorial（1）Softmax回归原理简介+代码详解

@author：wepon

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本文介绍Softmax回归算法，特别是详细解读其代码实现，基于python theano，代码来自：Classifying MNIST digits using Logistic Regression，参考UFLDL。

一、Softmax回归简介

关于算法的详细教程本文没必要多说，可以参考UFLDL。下面只简单地总结一下，以便更好地理解代码。Softmax回归其实就相当于多类别情况下的逻辑回归，对比如下：逻辑回归的假设函数（hypothesis）：

整个逻辑回归模型的参数就是theta，h(*)是sigmoid函数，输出在0～1之间，一般作为二分类算法。对于具体的问题，找出最合适的theta便是最重要的步骤，这是最优化问题，一般通过定义代价函数，然后最小化代价函数来求解，逻辑回归的代价函数为：

最小化J(theta)，一般采用梯度下降算法，迭代计算梯度并更新theta。
Softmax的假设函数：
逻辑回归里将-theta*x作为sigmoid函数的输入，得到的是0或者1，两个类别。而softmax有有k个类别，并且将-theta*x作为指数的系数，所以就有e^(-theta_1*x)至e^( -theta_k*x)共k项，然后除以它们的累加和，这样做就实现了归一化，使得输出的k个数的和为1，而每一个数就代表那个类别出现的概率。因此：softmax的假设函数输出的是一个k维列向量，每一个维度的数就代表那个类别出现的概率。
Softmax的代价函数：

本质上跟逻辑回归是一样的，采用NLL，如果加上权重衰减项（正则化项），则为：


最小化代价函数，同样可以采用简单而有效的梯度下降，需要提到的是，在程序实现中，我们一般采用批量随机梯度下降，即MSGD，minibatch Stochastic Gradient Descent，简单来说，就是每遍历完一个batch的样本才计算梯度和更新参数，一个batch一般有几十到几百的单个样本。PS：随机梯度下降则是一个样本更新一次。

二、Softmax代码详细解读

首先说明一点，下面的程序采用的是MSGD算法，代价函数是不带权重衰减项的，整个程序实现用Softmax回归来classfy MINST数据集（识别手写数字0～9）。代码解读是个人理解，仅供参考，不一定正确，如有错误请不吝指出。

原始代码和经过我注释的代码:github地址

参数说明：上面第一部分我们的参数用theta表示，在下面的程序中，用的是W，权重，这两者是一样的。还有一点需要注意，上面的假设函数中是-theta*x，而在程序中，用的是W*X+b，本质也是一样的，因为可以将b看成W0，增加一个x0=1，则W*X+b=WX=-theta*x。

（1）导入一些必要的模块

import cPickleimport gzipimport osimport sysimport timeimport numpyimport theanoimport theano.tensor as T

（2）定义Softmax回归模型

在deeplearning tutorial中，直接将LogisticRegression视为Softmax，而我们所认识的二类别的逻辑回归就是当n_out=2时的LogisticRegression，因此下面代码定义的LogisticRegression就是Softmax。
代码解读见注释：

#参数说明：#input，输入的一个batch，假设一个batch有n个样本(n_example)，则input大小就是(n_example,n_in)#n_in,每一个样本的大小，MNIST每个样本是一张28*28的图片，故n_in=784#n_out,输出的类别数，MNIST有0～9共10个类别，n_out=10 class LogisticRegression(object):    def __init__(self, input, n_in, n_out):#W大小是n_in行n_out列，b为n_out维向量。即：每个输出对应W的一列以及b的一个元素。WX+b  #W和b都定义为theano.shared类型，这个是为了程序能在GPU上跑。        self.W = theano.shared(            value=numpy.zeros(                (n_in, n_out
20000
),                dtype=theano.config.floatX            ),            name='W',            borrow=True        )        self.b = theano.shared(            value=numpy.zeros(                (n_out,),                dtype=theano.config.floatX            ),            name='b',            borrow=True        )#input是(n_example,n_in)，W是（n_in,n_out）,点乘得到(n_example,n_out)，加上偏置b，#再作为T.nnet.softmax的输入，得到p_y_given_x#故p_y_given_x每一行代表每一个样本被估计为各类别的概率    #PS：b是n_out维向量，与(n_example,n_out)矩阵相加，内部其实是先复制n_example个b，#然后(n_example,n_out)矩阵的每一行都加b        self.p_y_given_x = T.nnet.softmax(T.dot(input, self.W) + self.b)#argmax返回最大值下标，因为本例数据集是MNIST，下标刚好就是类别。axis=1表示按行操作。        self.y_pred = T.argmax(self.p_y_given_x, axis=1)#params，模型的参数             self.params = [self.W, self.b]#代价函数NLL#因为我们是MSGD，每次训练一个batch，一个batch有n_example个样本，则y大小是(n_example,),#y.shape[0]得出行数即样本数，将T.log(self.p_y_given_x)简记为LP，#则LP[T.arange(y.shape[0]),y]得到[LP[0,y[0]], LP[1,y[1]], LP[2,y[2]], ...,LP[n-1,y[n-1]]]#最后求均值mean，也就是说，minibatch的SGD，是计算出batch里所有样本的NLL的平均值，作为它的cost    def negative_log_likelihood(self, y):          return -T.mean(T.log(self.p_y_given_x)[T.arange(y.shape[0]), y])#batch的误差率    def errors(self, y):        # 首先检查y与y_pred的维度是否一样，即是否含有相等的样本数        if y.ndim != self.y_pred.ndim:            raise TypeError(                'y should have the same shape as self.y_pred',                ('y', y.type, 'y_pred', self.y_pred.type)            )        # 再检查是不是int类型，是的话计算T.neq(self.y_pred, y)的均值，作为误差率        #举个例子，假如self.y_pred=[3,2,3,2,3,2],而实际上y=[3,4,3,4,3,4]        #则T.neq(self.y_pred, y)=[0,1,0,1,0,1],1表示不等，0表示相等        #故T.mean(T.neq(self.y_pred, y))=T.mean([0,1,0,1,0,1])=0.5，即错误率50%        if y.dtype.startswith('int'):            return T.mean(T.neq(self.y_pred, y))        else:            raise NotImplementedError()

上面已经定义好了softmax模型，包括输入的batch ：input，每个样本的大小n_in，输出的类别n_out，模型的参数W、b，模型预测的输出y_pred，代价函数NLL，以及误差率errors。

（3）加载MNIST数据集

def load_data(dataset):    # dataset是数据集的路径，程序首先检测该路径下有没有MNIST数据集，没有的话就下载MNIST数据集    #这一部分就不解释了，与softmax回归算法无关。    data_dir, data_file = os.path.split(dataset)    if data_dir == "" and not os.path.isfile(dataset):        # Check if dataset is in the data directory.        new_path = os.path.join(            os.path.split(__file__)[0],            "..",            "data",            dataset        )        if os.path.isfile(new_path) or data_file == 'mnist.pkl.gz':            dataset = new_path    if (not os.path.isfile(dataset)) and data_file == 'mnist.pkl.gz':        import urllib        origin = (            'http://www.iro.umontreal.ca/~lisa/deep/data/mnist/mnist.pkl.gz'        )        print 'Downloading data from %s' % origin        urllib.urlretrieve(origin, dataset)    print '... loading data'#以上是检测并下载数据集mnist.pkl.gz，不是本文重点。下面才是load_data的开始    #从"mnist.pkl.gz"里加载train_set, valid_set, test_set，它们都是包括label的#主要用到python里的gzip.open()函数,以及 cPickle.load()。#‘rb’表示以二进制可读的方式打开文件    f = gzip.open(dataset, 'rb')    train_set, valid_set, test_set = cPickle.load(f)    f.close()   #将数据设置成shared variables，主要时为了GPU加速，只有shared variables才能存到GPU memory中#GPU里数据类型只能是float。而data_y是类别，所以最后又转换为int返回    def shared_dataset(data_xy, borrow=True):        data_x, data_y = data_xy        shared_x = theano.shared(numpy.asarray(data_x,                                               dtype=theano.config.floatX),                                 borrow=borrow)        shared_y = theano.shared(numpy.asarray(data_y,                                               dtype=theano.config.floatX),                                 borrow=borrow)        return shared_x, T.cast(shared_y, 'int32')    test_set_x, test_set_y = shared_dataset(test_set)    valid_set_x, valid_set_y = shared_dataset(valid_set)    train_set_x, train_set_y = shared_dataset(train_set)    rval = [(train_set_x, train_set_y), (valid_set_x, valid_set_y),            (test_set_x, test_set_y)]    return rval

（4）将模型应用于MNIST数据集

def sgd_optimization_mnist(learning_rate=0.13, n_epochs=1000,                           dataset='mnist.pkl.gz',                           batch_size=600):#加载数据    datasets = load_data(dataset)    train_set_x, train_set_y = datasets[0]    valid_set_x, valid_set_y = datasets[1]    test_set_x, test_set_y = datasets[2]#计算有多少个minibatch，因为我们的优化算法是MSGD，是一个batch一个batch来计算cost的    n_train_batches = train_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size    n_valid_batches = valid_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size    n_test_batches = test_set_x.get_value(borrow=True).shape[0] / batch_size    ######################    # 开始建模            #    ######################    print '... building the model'#设置变量，index表示minibatch的下标，x表示训练样本，y是对应的label    index = T.lscalar()      x = T.matrix('x')     y = T.ivector('y')         #定义分类器，用x作为input初始化。    classifier = LogisticRegression(input=x, n_in=28 * 28, n_out=10)#定义代价函数，用y来初始化，而其实还有一个隐含的参数x在classifier中。#这样理解才是合理的，因为cost必须由x和y得来，单单y是得不到cost的。    cost = classifier.negative_log_likelihood(y)#这里必须说明一下theano的function函数，givens是字典，其中的x、y是key，冒号后面是它们的value。#在function被调用时，x、y将被具体地替换为它们的value，而value里的参数index就是inputs=[index]这里给出。#下面举个例子：#比如test_model(1)，首先根据index=1具体化x为test_set_x[1 * batch_size: (1 + 1) * batch_size]，#具体化y为test_set_y[1 * batch_size: (1 + 1) * batch_size]。然后函数计算outputs=classifier.errors(y)，#这里面有参数y和隐含的x，所以就将givens里面具体化的x、y传递进去。    test_model = theano.function(        inputs=[index],        outputs=classifier.errors(y),        givens={            x: test_set_x[index * batch_size: (index + 1) * batch_size],            y: test_set_y[index * batch_size: (index + 1) * batch_size]        }    )    validate_model = theano.function(        inputs=[index],        outputs=classifier.errors(y),        givens={            x: valid_set_x[index * batch_size: (index + 1) * batch_size],            y: valid_set_y[index * batch_size: (index + 1) * batch_size]        }# 计算各个参数的梯度    g_W = T.grad(cost=cost, wrt=classifier.W)    g_b = T.grad(cost=cost, wrt=classifier.b)#更新的规则，根据梯度下降法的更新公式    updates = [(classifier.W, classifier.W - learning_rate * g_W),               (classifier.b, classifier.b - learning_rate * g_b)]#train_model跟上面分析的test_model类似，只是这里面多了updatas，更新规则用上面定义的updates 列表。       train_model = theano.function(        inputs=[index],        outputs=cost,        updates=updates,        givens={            x: train_set_x[index * batch_size: (index + 1) * batch_size],            y: train_set_y[index * batch_size: (index + 1) * batch_size]        }    )    ###############    # 开始训练     #    ###############    print '... training the model'       patience = 5000      patience_increase = 2 #提高的阈值，在验证误差减小到之前的0.995倍时，会更新best_validation_loss       improvement_threshold = 0.995  #这样设置validation_frequency可以保证每一次epoch都会在验证集上测试。   validation_frequency = min(n_train_batches, patience / 2)                                    best_validation_loss = numpy.inf   #最好的验证集上的loss，最好即最小。初始化为无穷大    test_score = 0.    start_time = time.clock()    done_looping = False    epoch = 0    #下面就是训练过程了，while循环控制的时步数epoch，一个epoch会遍历所有的batch，即所有的图片。#for循环是遍历一个个batch，一次一个batch地训练。for循环体里会用train_model(minibatch_index)去训练模型，#train_model里面的updatas会更新各个参数。#for循环里面会累加训练过的batch数iter，当iter是validation_frequency倍数时则会在验证集上测试，#如果验证集的损失this_validation_loss小于之前最佳的损失best_validation_loss，#则更新best_validation_loss和best_iter，同时在testset上测试。#如果验证集的损失this_validation_loss小于best_validation_loss*improvement_threshold时则更新patience。#当达到最大步数n_epoch时，或者patience<iter时，结束训练    while (epoch < n_epochs) and (not done_looping):        epoch = epoch + 1        for minibatch_index in xrange(n_train_batches):            minibatch_avg_cost = train_model(minibatch_index)            # iteration number            iter = (epoch - 1) * n_train_batches + minibatch_index            if (iter + 1) % validation_frequency == 0:                # compute zero-one loss on validation set                validation_losses = [validate_model(i)                                     for i in xrange(n_valid_batches)]                this_validation_loss = numpy.mean(validation_losses)                print(                    'epoch %i, minibatch %i/%i, validation error %f %%' %                    (                        epoch,                        minibatch_index + 1,                        n_train_batches,                        this_validation_loss * 100.                    )                )                # if we got the best validation score until now                if this_validation_loss < best_validation_loss:                    #improve patience if loss improvement is good enough                    if this_validation_loss < best_validation_loss *  \                       improvement_threshold:                        patience = max(patience, iter * patience_increase)                    best_validation_loss = this_validation_loss                    # test it on the test set                    test_losses = [test_model(i)                                   for i in xrange(n_test_batches)]                    test_score = numpy.mean(test_losses)                    print(                        (                            '     epoch %i, minibatch %i/%i, test error of'                            ' best model %f %%'                        ) %                        (                            epoch,                            minibatch_index + 1,                            n_train_batches,                            test_score * 100.                        )                    )            if patience <= iter:                done_looping = True                break#while循环结束    end_time = time.clock()    print(        (            'Optimization complete with best validation score of %f %%,'            'with test performance %f %%'        )        % (best_validation_loss * 100., test_score * 100.)    )    print 'The code run for %d epochs, with %f epochs/sec' % (        epoch, 1. * epoch / (end_time - start_time))    print >> sys.stderr, ('The code for file ' +                          os.path.split(__file__)[1] +                          ' ran for %.1fs' % ((end_time - start_time)))

完