树的概念

树（英语：tree）是⼀种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型
的数据结构，⽤来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个
有限节点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像⼀
棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。它具有以下的特点：
每个节点有零个或多个⼦节点；
没有⽗节点的节点称为根节点；
每⼀个⾮根节点有且只有⼀个⽗节点；
除了根节点外，每个⼦节点可以分为多个不相交的⼦树；

树的术语

节点的度：⼀个节点含有的⼦树的个数称为该节点的度；
树的度：⼀棵树中，最⼤的节点的度称为树的度；
叶节点或终端节点：度为零的节点；
⽗亲节点或⽗节点：若⼀个节点含有⼦节点，则这个节点称为其⼦节点
的⽗节点；
孩⼦节点或⼦节点：⼀个节点含有的⼦树的根节点称为该节点的⼦节
点；
兄弟节点：具有相同⽗节点的节点互称为兄弟节点；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的⼦节点为第2层，以此
类推；
树的⾼度或深度：树中节点的最⼤层次；
堂兄弟节点：⽗节点在同⼀层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分⽀上的所有节点；
⼦孙：以某节点为根的⼦树中任⼀节点都称为该节点的⼦孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

⽆序树：树中任意节点的⼦节点之间没有顺序关系，这种树称为⽆序
树，也称为⾃由树；
有序树：树中任意节点的⼦节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
⼆叉树：每个节点最多含有两个⼦树的树称为⼆叉树；
完全⼆叉树：对于⼀颗⼆叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d
层外，其它各层的节点数⽬均已达最⼤值，且第d层所有节点从
左向右连续地紧密排列，这样的⼆叉树被称为完全⼆叉树，其
中满⼆叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全⼆叉树;
平衡⼆叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵⼦树的⾼度
差不⼤于1的⼆叉树；
排序⼆叉树（⼆叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称
⼆叉搜索树、有序⼆叉树）；
霍夫曼树（⽤于信息编码）：带权路径最短的⼆叉树称为哈夫曼树
或最优⼆叉树；
B树：⼀种对读写操作进⾏优化的⾃平衡的⼆叉查找树，能够保持数
据有序，拥有多余两个⼦树。
树的存储与表示
顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有⼀定的优
势，但因所占空间⽐较⼤，是⾮主流⼆叉树。⼆叉树通常以链式存储。
常⻅的⼀些树的应⽤场景

链式存储：

常⻅的⼀些树的应⽤场景

1.xml，html等，那么编写这些东⻄的解析器的时候，不可避免⽤到树
2.路由协议就是使⽤了树的算法
3.mysql数据库索引
4.⽂件系统的⽬录结构
5.所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也
是树结构

⼆叉树

⼆叉树的基本概念

⼆叉树是每个节点最多有两个⼦树的树结构。通常⼦树被称作“左⼦树”（left
subtree）和“右⼦树”（right subtree）

⼆叉树的性质(特性)

性质1: 在⼆叉树的第i层上⾄多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的⼆叉树⾄多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数
为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全⼆叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全⼆叉树，若从上⾄下、从左⾄右编号，则编号为i 的结点，其左
孩⼦编号必为2i，其右孩⼦编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为
根,除外）
(1)完全⼆叉树——若设⼆叉树的⾼度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～
h-1) 的结点数都达到最⼤个数，第h层有叶⼦结点，并且叶⼦结点都是
从左到右依次排布，这就是完全⼆叉树。

(2)满⼆叉树——除了叶结点外每⼀个结点都有左右⼦叶且叶⼦结点都处在最
底层的⼆叉树。

class Node(object):
"""结点类"""
def __init__(self, item):
self.item = item
self.lchild = None
self.rchild = None

class BinaryTree(object):
"""二叉树"""
def __init__(self, node=None):
self.root = node

def add(self, item):
"""
广度优先遍历方式添加结点
:param item:
:return:
"""
if self.root is None:
self.root = Node(item)
else:
queue = []
queue.append(self.root)

while len(queue) > 0:
node = queue.pop(0)
if not node.lchild:
node.lchild = Node(item)
return
else:
queue.append(node.lchild)
if not node.rchild:
node.rchild = Node(item)
return
else:
queue.append(node.rchild)

def breadh_travel(self):
"""广度优先遍历"""
if self.root is None:
return
queue = []
queue.append(self.root)
while len(queue)>0:
node = queue.pop(0)
print(node.item, end=" ")
if node.lchild:
queue.append(node.lchild)
if node.rchild:
queue.append(node.rchild)

def preorder_travel(self, root):
"""先序 根 左 右"""
if root:
print(root.item, end=" ")
self.preorder_travel(root.lchild)
self.preorder_travel(root.rchild)

def inorder_travel(self, root):
"""中序 左 根  右"""
if root:
self.inorder_travel(root.lchild)
print(root.item, end=" ")
self.inorder_travel(root.rchild)

def postorder_travel(self, root):
"""后序 左 右 根"""
if root:
self.postorder_travel(root.lchild)
self.postorder_travel(root.rchild)
print(root.item, end=" ")

if __name__ == '__main__':
tree = BinaryTree()
tree.add(0)
tree.add(1)
tree.add(2)
tree.add(3)
tree.add(4)
tree.add(5)
tree.add(6)
tree.add(7)
tree.add(8)
tree.add(9)
tree.breadh_travel()
print("")
tree.preorder_travel(tree.root)
print("")
tree.inorder_travel(tree.root)
print("")
tree.postorder_travel(tree.root)
print("")