叶丙成-概率-chapter1-基础知识

国立台湾大学叶丙成《机率》课程学习-chapter1-基础知识篇

1.概率概论

1. 为什么要研究概率
   我们对世界了解的太少，世界的很多运作是未知的
   • 世界上的事情不见得都是必然的(deterministic),有很多事情是有随机性的(random)
2. 概率与统计的差异
   概率：概率模型已知，要学会怎么计算某些事件的概率
   • 统计：概率模型未知，要学会怎么从大量的实验结果中去建立概率模型

2.集合论

1. 全集(universal set):SSS
2. 空集(empty set):ϕ\phiϕ
3. 交集(intersection)
4. 并集(union)
5. 补集(complement)
6. 差集(difference)
7. 不相交(disjoint)
8. 互斥(mutually exclusive):若一组集合X1,X2,…,XnX_1,X_2,\dots,X_nX1​,X2​,…,Xn​中任意两个集合都不相交，则我们才称这组集合互斥。
9. De Morgan’s laws(德·摩根定律):(A⋃B)c=Ac⋂Bc(A\bigcup B)^c=A^c\bigcap B^c(A⋃B)c=Ac⋂Bc
   证明：
   →\to→
   假设x∈(A⋃B)c假设\quad x\in(A\bigcup B)^c假设x∈(A⋃B)c
   ⇒x∉A⋃B\Rightarrow x\notin A\bigcup B⇒x∈/​A⋃B
   ⇒x∉Aandx∉B\Rightarrow x\notin A\quad and \quad x\notin B⇒x∈/​Aandx∈/​B
   ⇒x∈Acandx∈Bc\Rightarrow x\in A^c\quad and \quad x\in B^c⇒x∈Acandx∈Bc
   ⇒(A⋃B)c⊆(Ac⋂Bc)\Rightarrow (A\bigcup B)^c \subseteq (A^c\bigcap B^c)⇒(A⋃B)c⊆(Ac⋂Bc)
   ←\gets←
   假设x∈(Ac⋂Bc)假设\quad x\in(A^c\bigcap B^c)假设x∈(Ac⋂Bc)
   ⇒x∉Aandx∉B\Rightarrow x\notin A \quad and \quad x\notin B⇒x∈/​Aandx∈/​B
   ifx∉(A⋃B)cif \quad x \notin(A\bigcup B)^c ifx∈/​(A⋃B)c
   ⇒x∈(A⋃B)⇒x∈Aorx∈B→←矛盾\Rightarrow x\in (A\bigcup B)\Rightarrow x\in A or x \in B \to\gets 矛盾⇒x∈(A⋃B)⇒x∈Aorx∈B→←矛盾
   Thusx∈(A⋃B)c⇒(Ac⋂Bc)⊆(A⋃B)cThus x \in (A\bigcup B)^c \Rightarrow (A^c\bigcap B^c) \subseteq (A\bigcup B)^cThusx∈(A⋃B)c⇒(Ac⋂Bc)⊆(A⋃B)c

3.概率名词

1. 实验(experiment)：
   一个概率实验包含了：步骤(procedures)、模型(model)、观察(obversions)、结果(outcome)
2. 样本空间(sample space)：概率实验所有可能的集合，用S表示S表示S表示
3. 事件(event)：指对于实验结果的某种叙述
4. 概率就是实验结果符合某事件叙述的机会有多大
5. 在数学上，事件可以看成是结果的集合，也就是样本空间的子集
6. 事件空间(event space)(set of sets)：所有可能事件的集合，包含ϕ,S\phi,Sϕ,S。若样本空间S={o1,o2,…,on}S=\{o_1,o_2,\dots,o_n\}S={o1​,o2​,…,on​}，有nnn个结果。计算公式，有2n2^n2n个事件的集合。
   概率是一个函数，其自变量是事件
   P(事件)=0.6⇒概率函数的自变量是：事件P(事件)=0.6 \Rightarrow 概率函数的自变量是：事件P(事件)=0.6⇒概率函数的自变量是：事件
   概率可以看成是一个映射，
   概率函数是从事件空间映射到[0,1][0,1][0,1]
   P:事件空间→[0,1]P:事件空间\to[0,1]P:事件空间→[0,1]

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  作者：togetlife