概率论基础知识-条件概率，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式

（好像越来越笨了，概率的问题都不记得了，现在记录下来，希望对以后有所帮助。）

1.条件概率

定义 设A, B是两个事件，且P(A)>0 称
P(B∣A)=P(AB)/P(A)
为在条件A下发生的条件事件B发生的条件概率。

2.乘法公式

设P(A)>0 则有
P(AB)=P(B∣A)P(A)

3. 全概率公式和贝叶斯公式

定义 设S为试验E的样本空间，B1, B2, …Bn为E的一组事件，若

BiBj≠Ф, i≠j, i, j=1, 2, …,n;

B1∪B2∪…∪Bn=S
则称B1, B2, …, Bn为样本空间的一个划分。
定理 设试验E的样本空间为，A为E的事件，B1, B2, …,Bn为的一个划分，且P(Bi)>0 (i=1, 2, …n)，则
P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)+ …+P(A∣Bn)P(Bn)
称为全概率公式。
定理 设试验俄E的样本空间为S，A为E的事件，B1, B2, …,Bn为的一个划分，则
P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)/∑P(B｜Aj)P(Aj)=P(B｜Ai)P(Ai)/P(B)
称为贝叶斯公式。
说明：i，j均为下标，求和均是1到n

例1
某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．

解： 设B= {该小组在比赛中射中目标}
Ai= {选i级射手参加比赛}（i=1,2,3,4）
由全概率公式有：
P(A) = P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)
= 2/20 * 0.85 + 6/20 * 0.64 +9/20*0.45 +3/20 * 0.32
= 0.5275

例2. 袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．

解：

设：B={
取出的球全是白球 }

A ={扔出i点} （i = 1,2,3,4,5,6）
由贝叶斯公式得：
P(A3|B) = (P(A3)P(B|A3))/ P(B)
而由全概率公式得P(B)=
P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)+P(A5)P(B|A5)+ P(A6)P(B|A6)
最后P(A3|B) = (1/6 * C(3,5)/C(3,15))/P(B) = 0.4835