洛谷P3345 [ZJOI2015]幻想乡战略游戏(动态点分治,树的重心,二分查找,Tarjan-LCA,树上差分)
2018-07-25 22:10
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动态点分治小白,光是因为思路不清晰就耗费了不知道多少时间去gang这题,所以还是来理理思路吧。
一个树\(T\)里面\(\sum\limits_{v\in T} D_vdist(u,v)\)取到最小值的\(u\)我们可以称作带权重心。类似重心各种性质的证明过程,我们不难证出这样的点顶多只有两个。
如果\(e\)都是正数的话比较好做。类比重心性质,新带权重心一定在原带权重心和修改点之间的路径上,可以直接像首都(蒟蒻题解)那样用LCT维护以带权重心为根的树,修改时提出链二分查找出新带权重心即可。
可是\(e\)会是负数啊!这时候,新带权重心一定会有远离修改点的趋势。但是子树太多了,我们根本不能快速知道往哪里移。我们只能暴力判断,如果当前决策点是\(x\),\(y\)与\(x\)有边相连,那么假如把补给站移过去,显然答案会减去\(y\)一侧子树的\(w×\sum\limits_{v\in Y} D_v\)(\(w\)为当前边权),加上\(x\)一侧子树的\(w×\sum\limits_{v\in X} D_v\)。那么当\(\sum\limits_{v\in Y} D_v\geq\sum\limits_{v\in X} D_v\)也就是\(2\sum\limits_{v\in Y} D_v\geq\sum\limits_{v\in T} D_v\)时我们当然可以更改决策点,然后继续寻找更优的点,直到找不到为止。只可惜这样是\(O(n^2)\)的。
怎么快速找呢?我们可以想到动态点分治,点分树的高度是\(\log\)级别的,把它建好后,维护每个以\(u\)为根的点分子树的\(D\)之和\(s_u\)。根据上式判断,如果当前点的某一个有边相邻的点更优,我们直接把决策点改成该点所在的点分子树的根节点!由于每个点度数很小,我们甚至可以暴力
但是,具体实现起来又有不少问题。
首先,点分树保证了高度,却保证不了信息的完整性,每个节点只能维护该节点所在点分子树的信息。而上面那个式子需要维护原树的子树\(\sum D\)。试想一下当我们在点分树里从根向下跳了\(k\)层,那么当前的子树还会通过边连接上\(O(k)\)个外部子树。如果
聪明的做法,可以理解为缩点,是在每次找到更优点之后,跳向点分子树\(v\)之前,把更优点的\(D\)临时加上\(s_u-s_v\)即外部子树的\(\sum D\)。当然,注意区分点分树和原树,更优点并不一定是当前点的子节点,所以更优点的点分树上的祖先的\(s\)也要更新。用递归实现,等到找出了带权重心,回溯了之后,再把它还原。稍稍脑补一下,是不是很轻松地消除了外部子树的影响?
其次,找出了重心,我们还要统计答案。仔细想想,这个答案实在不方便也没必要丢到别的数据结构(线段树,LCT什么的)动态维护了。把点分树建出来了,还不好好使用它?我们显然要维护每个以\(x\)为根点分子树中的\(\sum\limits_{v\in X} D_vdist(x,v)\),记为\(tot_x\)。设统计\(x\)的答案,首先\(tot_x\)直接算进去了。但是如果加上\(x\)祖先的\(tot\),就会有多余的,多余出\(x\)所在点分子树的贡献。这时候来一波树上差分,再记\(tof_x\)表示\(\sum\limits_{v\in X} D_vdist(fa_x,v)\)(\(fa_x\)为\(x\)点分树上的父亲),每加上\(tot_{fa_x}\)就减掉\(tof_x\)就好啦。
思路至此,点分树里的三个变量怎么维护也不是大问题了。当\(D_x\)加上\(e\)的时候,更新点分树上\(x\)及其祖先,设当前修改\(y\),那么\(s_y\)加上\(e\)、\(tot_{fa_y}\)和\(tof_y\)都加上\(e×dist(x,{fa_y})\)就是显然的了。那么我们还要预处理出每个点到点分树上每个祖先的距离,这个可以离线,为什么没人写Tarjan求LCA呢?(话说蒟蒻也是第一次写)把询问丢进去,以\(1\)为根求每个点的带权深度\(dep\),处理出LCA之后直接差分,\(dist(x,y)=dep_x+dep_y-2dep_{LCA}\),这个大家都会吧。
思路实在不清晰就看看代码吧。话说动态点分治的代码都短不了吧。。。。。。不过Tarjan写起来方便不少,蒟蒻没过分压行也只有90多行。
动态点分治小白,光是因为思路不清晰就耗费了不知道多少时间去gang这题,所以还是来理理思路吧。
一个树\(T\)里面\(\sum\limits_{v\in T} D_vdist(u,v)\)取到最小值的\(u\)我们可以称作带权重心。类似重心各种性质的证明过程,我们不难证出这样的点顶多只有两个。
如果\(e\)都是正数的话比较好做。类比重心性质,新带权重心一定在原带权重心和修改点之间的路径上,可以直接像首都(蒟蒻题解)那样用LCT维护以带权重心为根的树,修改时提出链二分查找出新带权重心即可。
可是\(e\)会是负数啊!这时候,新带权重心一定会有远离修改点的趋势。但是子树太多了,我们根本不能快速知道往哪里移。我们只能暴力判断,如果当前决策点是\(x\),\(y\)与\(x\)有边相连,那么假如把补给站移过去,显然答案会减去\(y\)一侧子树的\(w×\sum\limits_{v\in Y} D_v\)(\(w\)为当前边权),加上\(x\)一侧子树的\(w×\sum\limits_{v\in X} D_v\)。那么当\(\sum\limits_{v\in Y} D_v\geq\sum\limits_{v\in X} D_v\)也就是\(2\sum\limits_{v\in Y} D_v\geq\sum\limits_{v\in T} D_v\)时我们当然可以更改决策点,然后继续寻找更优的点,直到找不到为止。只可惜这样是\(O(n^2)\)的。
怎么快速找呢?我们可以想到动态点分治,点分树的高度是\(\log\)级别的,把它建好后,维护每个以\(u\)为根的点分子树的\(D\)之和\(s_u\)。根据上式判断,如果当前点的某一个有边相邻的点更优,我们直接把决策点改成该点所在的点分子树的根节点!由于每个点度数很小,我们甚至可以暴力
for一遍判断。这也是像首都一样二分查找重心。
但是,具体实现起来又有不少问题。
首先,点分树保证了高度,却保证不了信息的完整性,每个节点只能维护该节点所在点分子树的信息。而上面那个式子需要维护原树的子树\(\sum D\)。试想一下当我们在点分树里从根向下跳了\(k\)层,那么当前的子树还会通过边连接上\(O(k)\)个外部子树。如果
for每一条边的时候都要判断每一个外部子树在边的哪一侧,岂不是很费劲?
聪明的做法,可以理解为缩点,是在每次找到更优点之后,跳向点分子树\(v\)之前,把更优点的\(D\)临时加上\(s_u-s_v\)即外部子树的\(\sum D\)。当然,注意区分点分树和原树,更优点并不一定是当前点的子节点,所以更优点的点分树上的祖先的\(s\)也要更新。用递归实现,等到找出了带权重心,回溯了之后,再把它还原。稍稍脑补一下,是不是很轻松地消除了外部子树的影响?
其次,找出了重心,我们还要统计答案。仔细想想,这个答案实在不方便也没必要丢到别的数据结构(线段树,LCT什么的)动态维护了。把点分树建出来了,还不好好使用它?我们显然要维护每个以\(x\)为根点分子树中的\(\sum\limits_{v\in X} D_vdist(x,v)\),记为\(tot_x\)。设统计\(x\)的答案,首先\(tot_x\)直接算进去了。但是如果加上\(x\)祖先的\(tot\),就会有多余的,多余出\(x\)所在点分子树的贡献。这时候来一波树上差分,再记\(tof_x\)表示\(\sum\limits_{v\in X} D_vdist(fa_x,v)\)(\(fa_x\)为\(x\)点分树上的父亲),每加上\(tot_{fa_x}\)就减掉\(tof_x\)就好啦。
思路至此,点分树里的三个变量怎么维护也不是大问题了。当\(D_x\)加上\(e\)的时候,更新点分树上\(x\)及其祖先,设当前修改\(y\),那么\(s_y\)加上\(e\)、\(tot_{fa_y}\)和\(tof_y\)都加上\(e×dist(x,{fa_y})\)就是显然的了。那么我们还要预处理出每个点到点分树上每个祖先的距离,这个可以离线,为什么没人写Tarjan求LCA呢?(话说蒟蒻也是第一次写)把询问丢进去,以\(1\)为根求每个点的带权深度\(dep\),处理出LCA之后直接差分,\(dist(x,y)=dep_x+dep_y-2dep_{LCA}\),这个大家都会吧。
思路实在不清晰就看看代码吧。话说动态点分治的代码都短不了吧。。。。。。不过Tarjan写起来方便不少,蒟蒻没过分压行也只有90多行。
#include<cstdio> #include<cstring> #define LL long long #define RG register #define R RG int #define G c=getchar() const int N=1e5+9,M=2e5+9,L=2e6; namespace E{int he ,ne[M],to[M];}//原树 namespace T{int he ,ne ,to ;}//点分树 namespace Q{int he[L],ne[L<<1],to[L<<1];}//LCA询问 using namespace E;//封了namespace确实清楚多了 int n,p,rt,w[M],s ,mx ,h ,dep ,fa ,top ,dis [20],*at[L<<1]; LL tot ,tof ;//该开longlong的别忘记 bool vis ; inline int in(){ RG char G;RG bool f=0; while(c<'-')G; if(c=='-')f=1,G; R x=c&15;G; while(c>'-')x*=10,x+=c&15,G; return f?-x:x; } inline void max(R&x,R y){if(x<y)x=y;} void getrt(R x){//建点分树求重心 vis[x]=1;s[x]=1;mx[x]=0; for(R y,i=he[x];i;i=ne[i]){ if(vis[y=to[i]])continue; getrt(y); s[x]+=s[y];max(mx[x],s[y]); } max(mx[x],n-s[x]); if(mx[rt]>mx[x])rt=x; vis[x]=0; } int div(R x){//递归建树 getrt(x);vis[x=rt]=1;rt=0; for(R t=n,y,i=he[x];i;i=ne[i]){ if(vis[y=to[i]])continue; n=s[x]>s[y]?s[y]:t-s[x]; T::ne[++p]=T::he[x];T::he[x]=p; fa[T::to[T::he[x]]=div(top[p]=y)]=x; }//小心递归后p变了,写T::to[p]会出事 return x; } int geth(R x){return x==h[x]?x:h[x]=geth(h[x]);}//路径压缩 void tarjan(R x){//预处理dist vis[x]=1; for(R y,i=he[x];i;i=ne[i]){ if(vis[y=to[i]])continue; dep[y]=dep[x]+w[i]; tarjan(y);h[y]=x; } for(R y,i=Q::he[x];i;i=Q::ne[i]) if(vis[y=Q::to[i]]) *at[i]=dep[x]+dep[y]-(dep[geth(y)]<<1);//差分 } LL find(R x){ R i; for(i=T::he[x];i&&s[T::to[i]]<<1<s[x];i=T::ne[i]);//找更优点 if(!i)return x;//找不到的话当前点就是最优点 R y,del=s[x]-s[T::to[i]]; for(y=top[i];y!=x;y=fa[y])s[y]+=del;//缩点 R ret=find(T::to[i]); for(y=top[i];y!=x;y=fa[y])s[y]-=del;//还原 return ret; } int main(){ mx[0]=1e9;//记得给初值 R n=::n=in(),q=in(),x,y,v,i; for(i=1;i<n;++i){ x=in();y=in(); ne[++p]=he[x];to[he[x]=p]=y; ne[++p]=he[y];to[he[y]=p]=x; w[p]=w[p-1]=in(); } p=0;rt=div(1);p=0; for(x=1;x<=n;++x) for(i=0,y=fa[h[x]=x];y;y=fa[y],++i){ Q::ne[++p]=Q::he[x];Q::to[Q::he[x]=p]=y; Q::ne[++p]=Q::he[y];Q::to[Q::he[y]=p]=x; at[p]=at[p-1]=&dis[x][i];//搞个指针,Tarjan的时候直接把值放进去 } memset(vis,0,n+1);memset(s,0,(n+1)<<2);//之前用过要清空 tarjan(1); RG LL t; while(q--){ x=y=in();s[rt]+=v=in(); for(i=0;y!=rt;++i)//维护 t=(LL)dis[x][i]*v,s[y]+=v,tof[y]+=t,tot[y=fa[y]]+=t; t=tot[x=y=find(rt)]; for(i=0;y!=rt;++i)//算答案 t+=(LL)dis[x][i]*(s[fa[y]]-s[y])+tot[fa[y]]-tof[y],y=fa[y]; printf("%lld\n",t); } return 0; }
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