[BZOJ3924][Zjoi2015]幻想乡战略游戏（动态点分治）

看到数据范围和6s的时限，得(cai)出是一道动态点分治。

这道题有一个巧妙的思路：

假设当前补给站为uu，并强制以uu为根，vv为uu的一个子节点，sumdusumdu和sumdvsumdv分别为uu的子树内的dd之和以及vv的子树内的dd之和，len(u,v)len(u,v)为边(u,v)(u,v)的长度。

如果将补给站迁移到点vv，那么vv的子树内的点到补给站的距离减少了len(u,v)len(u,v)，其他的点到补给站的距离增加了len(u,v)len(u,v)。也就是说，补给站迁移到点vv时，代价的增量为：

len(u,v)×(sumdu−sumdv−sumdv)len(u,v)×(sumdu−sumdv−sumdv)

整理一下，得出性质：uu为根，vv为uu的子节点，补给站在vv比uu优，当且仅当：

2×sumdv>sumdu2×sumdv>sumdu

显然满足条件的vv最多只有一个。

这时候，如果没有满足条件的vv，则uu为最优位置。否则最优位置在vv的子树内。

考虑动态点分治时每个点维护dd，sumdsumd，sumpdsumpd三个值，分别表示：

dudu：点uu的dd值。

sumdusumdu：点uu的子树内所有的dd值之和。

sumpdusumpdu：如果uu为根，则该值等于树中所有点vv的dis(v,u)×dvdis(v,u)×dv之和，否则等于uu的子树内所有点vv的dis(v,fau)×dvdis(v,fau)×dv之和。

（dis(a,b)dis(a,b)为aa和bb两点在原树中的距离，faufau为点uu在分治树上的父节点）

修改比较简单，从uu开始不断地往faufau更新三个值即可。

询问时，先把最优解暂定为分治树的根节点。

假设现在到了点uu的分治子树，并且发现最优解在vv的分治子树内（vv为uu在分治树上的一个子节点，原树上有边(u,w)(u,w)并且ww在vv的分治子树内）

则可以转移到vv的分治子树内求解。

首先计算出uu的分治子树内（除vv的分治子树内的点之外）的所有点到ww的dis×ddis×d之和（可以使用sumpdsumpd计算得出），这样vv的分治子树之外节点的影响就计算好了。

此外，还要考虑节点ww的影响因素：实际上对于uu的分治子树内但在vv的分治子树之外的一个点kk，上面的计算只是计算好了w−>kw−>k这一段路径的影响，而v−>wv−>w这一段路径的影响还没就算出来。所以，还需要把dwdw加上sumdu−sumdvsumdu−sumdv（对应的sumdsumd和sumpdsumpd也要跟着调整），这样就处理好了v−>wv−>w这一段路径的影响。这样就能进入vv的分治子树进行求解了。但vv的分治子树求解完毕后，还需要把dwdw恢复原值。

最好要使用RMQ求LCA来查询两点距离。

复杂度O(nlog2n)O(nlog2⁡n)（设n,qn,q同阶）

第一次写动态点分治，调了一整个下午

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Edge(u) for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
#define Edge2(u) for (int e = adj2[u], v; e; e = nxt2[e])
using namespace std;
inline int read() {
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 5, M = N << 1, LogN = 22;
int n, q, ecnt, nxt[M], adj
, go[M], val[M], sze
, maxs
, G,
dep
, dis
, m, a[M], Log[M], RMQ[M][LogN], fir
, fa
,
Root, ecnt2, nxt2
, adj2
, go2
, sc2
;
ll d
, sumd
, sumpd
;
bool vis
;
void add_edge(int u, int v, int w) {
nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; go[ecnt] = v; val[ecnt] = w;
nxt[++ecnt] = adj[v]; adj[v] = ecnt; go[ecnt] = u; val[ecnt] = w;
}
void add_edge2(int u, int v, int w) {
nxt2[++ecnt2] = adj2[u]; adj2[u] = ecnt2; go2[ecnt2] = v; sc2[ecnt2] = w;
}
void dfs(int u, int fu) {
dep[u] = dep[fu] + 1; a[fir[u] = ++m] = u;
Edge(u) {
if ((v = go[e]) == fu) continue;
dis[v] = dis[u] + val[e]; dfs(v, u); a[++m] = u;
}
}
void initRMQ()
{
int i, j; For (i, 1, m) RMQ[i][0] = a[i];
For (j, 1, 18) For (i, 1, m - (1 << j) + 1) {
int x = RMQ[i][j - 1], y = RMQ[i + (1 << j - 1)][j - 1];
RMQ[i][j] = dep[x] < dep[y] ? x : y;
}
}
int dist(int u, int v) {
int l = fir[u], r = fir[v]; if (l > r) swap(l, r);
int x = Log[r - l + 1], r1 = RMQ[l][x], r2 = RMQ[r - (1 << x) + 1][x];
int lca = dep[r1] < dep[r2] ? r1 : r2;
return dis[u] + dis[v] - (dis[lca] << 1);
}
void dfs1(int u, int fu) {
sze[u] = 1; for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) {
if ((v = go[e]) == fu || vis[v]) continue;
dfs1(v, u); sze[u] += sze[v];
}
}
void dfs2(int r, int u, int fu) {
maxs[u] = sze[r] - sze[u]; Edge(u) {
if ((v = go[e]) == fu || vis[v]) continue;
maxs[u] = max(maxs[u], sze[v]);
}
if (maxs[u] < maxs[G]) G = u;
Edge(u) if ((v = go[e]) != fu && !vis[v]) dfs2(r, v, u);
}
void calcG(int u) {dfs1(u, 0); G = u; dfs2(u, u, 0);}
int dfs3(int u, int fu) {
calcG(u); if (!Root) Root = G; vis[G] = 1; fa[G] = fu; int t = G;
Edge(G) {
if (vis[v = go[e]]) continue;
int w = dfs3(v, t); add_edge2(t, w, v);
}
return t;
}
void change(int u, int delta) {
int v = u; d[u] += delta; while (u) {
sumd[u] += delta;
sumpd[u] += 1ll * delta * dist(v, fa[u] ? fa[u] : u);
u = fa[u];
}
}
ll exc(int u, int w, int x) {
ll ans = 0, cnt = d[u];
Edge2(u) if ((v = go2[e]) != w) ans += sumpd[v], cnt += sumd[v];
d[x] += cnt; return ans + cnt * dist(u, x);
}
ll query(ll ans, int u) {
Edge2(u) if ((sumd[v = go2[e]] << 1) > sumd[u]) {
ll wr = d[sc2[e]], tmp, delta = exc(u, v, sc2[e]);
tmp = d[sc2[e]] - wr; for (int w = sc2[e]; w != u; w = fa[w])
sumd[w] += tmp, sumpd[w] += tmp * dist(sc2[e], fa[w] ? fa[w] : w);
ll nans = 0; for (int z = adj2[v]; z; z = nxt2[z]) nans += sumpd[go2[z]];
ans = delta + query(nans, v); for (int w = sc2[e]; w != u; w = fa[w])
sumd[w] -= tmp, sumpd[w] -= tmp * dist(sc2[e], fa[w] ? fa[w] : w);
d[sc2[e]] = wr; return ans;
}
return ans;
}
int main() {
int i, x, y, z; n = read(); q = read(); Log[0] = -1;
For (i, 1, n << 1) Log[i] = Log[i >> 1] + 1;
For (i, 1, n - 1)
x = read(), y = read(), z = read(), add_edge(x, y, z);
dfs(1, 0); initRMQ(); dfs3(1, 0); while (q--) {
x = read(); y = read(); change(x, y);
printf("%lld\n", query(sumpd[Root], Root));
}
return 0;
}