公理化之路

传统方式的疑惑

首先让我们来理解一下来自百科中传统的对面向对象的定义和说明：
抽象与分类：忽略事物的非本质特征，只注意那些与当前目标有关的本质特征，从而找出事物的共性，叫做抽象，把具有共同性质的事物划分为一类，得到一个抽象的概念，叫做分类。
类是具有相同属性和服务的一组对象的集合，它为属于该类的全部对象提供了统一的抽象描述，其内部包括属性和服务两个主要部分，类的作用是用来创建对象，对象是类的一个实例。
不同程度的抽象可得到不同层次的分类，较多地忽略事物之间的差别得到较一般的类，较多地注意事物之间的差别得到较特殊的类。
那么我们是怎么来看这样的定义呢？如果我们试做使用集合的观点来看看我们是否有矛盾和冲突。
按照上面描述类是一个集合，是包含所有对象的集合，那么其对象表示其集合的元素，那么这些对象组成了这样的集合的划分。
对于继承关系来说，如果B继承于A ，则A是B的父类，B是A的子类。 
按照传统的观点，如果表示B⊆A（⊆表示子集的包含关系）因为B是A的一个子集。
那么对于一个对象b是类B的元素，b∈B,那么根据B⊆A则可以推到出b∈A，即b也是类A中的一个元素。
因为b是类A中的一个元素，那么根据上面的描述，A类型可以创建出包含在其集合内部的b对象，然而通过类A来创建对象b是不可能的，因为b包含了A无法创建的属性和服务，所以就有两种可能出现了问题。
第一种情况是B不是A的子集，即继承关系，不是集合的子集包含关系。
第二种情况是对象不是类的集合中的元素，其对象和类不是元素和集合的包含关系。
现在，让我们来看看第一种情况，B是A的一种类型，因为A中的元素包含在B中，同时，A中的非虚拟函数也包含在B中，通过类的多态定义，B中的操作与A中的操作在逻辑意义上是相同的。所以继承关系是一种抽象和具体的映射关系，所以可以看着B是A具体化，A是B的抽象化。而这种集合间的关系也是不体现在继承关系上。
对于第二种情况，其实是一个比较复杂的情况，对象和类是一种什么样的关系呢？这个在下面我们还要继续进行分析。
对于上面所描述的继承关系还有另外一种情况就是表示为A⊆B（A是B的子集）。
那么和上面一样的推导过程：对于a∈A，则a∈B。
但是a无法通过B进行创建，因为B创建的对象有比a具有更多的特性。
因为可能存在C继承于A，那么a可能又成为C的对象，那么a就是B∩C，但是这种概念也是违反事实的（因为B∩C可能是一个空集）。
让我们用一个实际的例子来说明一下，猫继承于动物，同时狗继承于动物，MiMi是一个动物，而且是一只猫，如果按照上面的观点，MiMi是一个只猫，也是一只狗。所以这是荒谬的。
另外如果这个A是一个接口，其不能实例化一个对象，那么类是一个空集，元素个数为0，因此对于这个继承体系来说，实际上除了属性还有抽象的操作，而操作才是最重要的特征。
由此我们可以看出，将类描述成一个集合，将对象描述为这个集合的元素是有问题的。那么类应该是一个什么概念呢？类应该是一系列实体的某个特性的抽象，而这些抽象在数学上是如何体现的呢？其与对象、子类之间的关系具体又指什么呢？同时需要关注类不仅具有属性还具有特定的操作规则。
所以对象组成的集合不是类，相似对象特征组成的集合也不是类，类不是集合，类实际上是一个元素，是对象的共同相似特征经过映射后的一个元素或逻辑概念实体。 阅读更多